(201261兰州)若x1,x2是关于一元二次方程ax2+bx+c(a≠0)的两个根,则方程的两个根x1

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1、若x1、x2是关于一元二次方程ax2＋bx＋c(a≠0)的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1＋x2＝－，x1•x2＝．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的两个交点为A(x1，0)，B(x2，0)．利用根与系数关系定理可以得到A、B连个交点间的距离为：AB＝

2、x1－x2

3、＝＝＝＝；参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，抛物线的顶点为C，显然△ABC为等腰三角形．(1)当△ABC为直角三角形时，求b2－4ac的

4、值；(2)当△ABC为等边三角形时，求b2－4ac的值．考点：抛物线与x轴的交点；根与系数的关系；等腰三角形的性质；等边三角形的性质。分析：(1)当△ABC为直角三角形时，由于AC＝BC，所以△ABC为等腰直角三角形，过C作CE⊥AB于E，则AB＝2CE．根据本题定理和结论，得到AB＝，根据顶点坐标公式，得到CE＝

5、

6、＝，列出方程，解方程即可求出b2－4ac的值；(2)当△ABC为等边三角形时，解直角△ACE，得CE＝AE＝，据此列出方程，解方程即可求出b2－4ac的值．解答：解：(1)当△ABC为直角三角形时，过C作CE⊥AB于E，则AB＝2CE．∵抛物线与x轴有两个交点，△＝b2

7、－4ac＞0，则

8、b2－4ac

9、＝b2－4ac．∵a＞0，∴AB＝，又∵CE＝

10、

11、＝，∴，∴，∴，∵b2－4ac＞0，∴b2－4ac＝4；(2)当△ABC为等边三角形时，由(1)可知CE＝，∴，∵b2－4ac＞0，∴b2－4ac＝12．点评：本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理，综合性较强，难度中等．