高考数学总复习

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1、1．下列函数是幂函数的是()(A)y=2x(B)y=2x-1(C)y=(x+2)2(D)y=【解析】选D.∵y==,依幂函数的定义知，该函数为幂函数.2．下列函数中，既是奇函数又是区间(0,+∞)上的增函数的是()(A)y=(B)y=x－1(C)y=x3(D)y=2x【解析】选C.A、D不是奇函数，B在(0,+∞)上是减函数，故选C.【解析】4．若幂函数f(x)的图像经过点(3，)，则其定义域为__________.【解析】设幂函数为y=xα，∵函数过点(3，)，∴=3α，解得α=－2，f(x)=x-2，∴函数的定义域为{x

2、x∈R,x≠0}.答案：

3、{x

4、x∈R,x≠0}【解析】答案：1【例1】已知y=(m2+2m-2)·+(2n-3)是幂函数，求m、n的值.【审题指导】本题是求实数m、n的值，由于已知幂函数的解析式，因此在解题方法上可从幂函数的定义入手，利用方程思想解决.幂函数定义的应用【自主解答】【规律方法】1.判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：①指数为常数；②底数为自变量;③幂系数为1.2.若一个函数为幂函数，则该函数解析式也必具有以上的三个特征.【变式训练】已知f(x)=(m2+2m)，m为何值时，f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(

5、4)幂函数．【解析】2幂函数性质的简单应用【审题指导】本题是比较两个幂值的大小，由于题设中给出了两个幂的表达式，所以从解题方法上，可由底数不变或指数不变来选择指数函数还是幂函数的单调性来比较其大小；或选择媒介量来比较大小．【自主解答】【规律方法】在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点,选择适当的函数.借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题关键.【变式训练】已知幂函数y=x3m-9(m∈N+)的图像关于y轴对称，且在(0，+∞)上函数值随x的增大而减小，求满足的a的取值范围.【解析】∵函数在(0，+∞)上递减，∴3m-9<0，∴m<

6、3，∵m∈N+，∴m=1,2.又∵函数的图像关于y轴对称，∴3m-9为偶数，当m=1时,3m-9=-6为偶数，当m=2时,3m-9=-3为奇数，【例】幂函数y=(m∈Z)的图像如图所示，则m的值为()(A)－1

7、因此m=1．【规律方法】幂函数y=xα的图像与性质由于α的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)α的正负：α>0时，图像过原点和(1，1)，在第一象限的图像上升；α<0时，图像不过原点，在第一象限的图像下降，反之也成立.(2)曲线在第一象限的凹凸性：α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸.【变式备选】讨论函数y=x的定义域、奇偶性，作出它的图像，并根据图像说明函数的增减性．【解析】∴f(x)为偶函数.由函数的定义域、奇偶性以及函数在第一象限的取值可作出该函数的图像如图：从图像中可以看出，该函数在(－∞,0)上单调递减；在

8、(0,+∞)上单调递增.【例】若点(，2)在幂函数f(x)的图像上，点(－2，)在幂函数g(x)的图像上，定义h(x)=试求函数h(x)的最大值以及单调区间.【审题指导】本题是求函数h(x)的最大值以及单调区间，但由于在条件中已知函数h(x)在相应段上的解析式，所以，在求解方法上，应在每一段上求最大值及函数的单调区间，但要注意函数端点值．【规范解答】设幂函数f(x)=xα，因为点(，2)在f(x)的图像上，所以()α=2，所以α=2，即f(x)=x2；又设g(x)=xβ，点(－2，)在g(x)的图像上，所以(－2)β=，所以β=－2，即g(x)=x－

9、2.在同一直角坐标系中画出函数f(x)与g(x)的图像，如图所示：根据图像可知：函数的最大值等于1，单调递增区间是(－∞，－1)和(0，1)，单调递减区间是(－1，0)和(1，+∞).【规律方法】解决与幂函数图像有关的问题，常利用其单调性、奇偶性、最值(值域)等性质，而与幂函数有关的函数的性质的研究，常利用其相应幂函数的图像，数形结合求解.【变式备选】已知幂函数f(x)=x(m∈N+)是偶函数，且在区间(0，+∞)上是减函数，(1)求函数f(x)的解析式；(2)讨论F(x)=的奇偶性，其中a、b∈R.【解析】(1)∵f(x)是偶函数，∴m2－2m－8

10、为偶数，又∵f(x)在区间(0，+∞)上是减函数，∴m2－2m－8<0，即-2＜m＜4，∵m∈N+，∴m=1