高等数学课件D924复合求导

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1、一元复合函数一、多元复合函数求导的链式法则微分法则机动目录上页下页返回结束复合函数微分法第九章本节内容:第二节偏导数与全微分二、复合函数高阶偏导数三、多元复合函数的全微分8/7/2021高等数学课件一、多元复合函数求导的链式法则定理.若函数处偏导连续,在点t可导,则复合函数证:设t取增量△t,则相应中间变量且有链式法则机动目录上页下页返回结束有增量△u,△v,8/7/2021高等数学课件(全导数公式)(△t＜0时,根式前加“–”号)机动目录上页下页返回结束8/7/2021高等数学课件若定理中说明:例如:易知:但复合函数偏导数连续减弱为偏导数存在,

2、机动目录上页下页返回结束则定理结论不一定成立.8/7/2021高等数学课件推广:1)中间变量多于两个的情形.例如,设下面所涉及的函数都是偏导数连续的.2)中间变量是多元函数的情形.例如,机动目录上页下页返回结束8/7/2021高等数学课件又如,当它们都具有偏导数连续条件时,有注意:这里表示已复合函数求导,表示未复合函数求导口诀:路径为加,节点为乘。与不同,机动目录上页下页返回结束8/7/2021高等数学课件例1.设解:机动目录上页下页返回结束8/7/2021高等数学课件例2.解:机动目录上页下页返回结束8/7/2021高等数学课件例3.设求全导数

3、解:机动目录上页下页返回结束例4.设其中f,φ均为可微解:或偏导连续，求令8/7/2021高等数学课件机动目录上页下页返回结束例5.设f有连续偏导数，解:求8/7/2021高等数学课件练习1机动目录上页下页返回结束……求提示8/7/2021高等数学课件机动目录上页下页返回结束求偏导数。练习28/7/2021高等数学课件为简便起见,引入记号例3.设f具有二阶连续偏导数,求解:令则机动目录上页下页返回结束二、复合函数高阶偏导数8/7/2021高等数学课件练习1第五节目录上页下页返回结束课堂练习8/7/2021高等数学课件练习2已知求解:由两边对x求导

4、,得机动目录上页下页返回结束8/7/2021高等数学课件练习3.求在点处连偏,且设函数解:由题设(2001考研)机动目录上页下页返回结束8/7/2021高等数学课件三、多元复合函数的全微分设函数的全微分为可见无论u,v是自变量还是中间变量,则复合函数都可微,其全微分表达形式都一样,这性质叫做全微分形式不变性.机动目录上页下页返回结束8/7/2021高等数学课件例1.例4.利用全微分形式不变性再解例1.解:所以机动目录上页下页返回结束8/7/2021高等数学课件例5.第五节目录上页下页返回结束解：8/7/2021高等数学课件第五节目录上页下页返回结

5、束8/7/2021高等数学课件第五节目录上页下页返回结束8/7/2021高等数学课件例6.设二阶偏导数连续,求下列表达式在解:已知极坐标系下的形式(1),则机动目录上页下页返回结束8/7/2021高等数学课件题目目录上页下页返回结束8/7/2021高等数学课件已知注意利用已有公式机动目录上页下页返回结束8/7/2021高等数学课件同理可得题目目录上页下页返回结束8/7/2021高等数学课件