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1、1.设椭圆有一个内接,射线OP与轴正向成角,直线AP,BP的斜率适合条件.(1),求证:过A,B的直线的斜率是定值;(2),求面积的最大值.1.(1)证明:易知直线OP的方程为,将此方程代入,可求得交点P(1,.由题意可设直线PA,PB的方程分别为和,分别与椭圆方程联立,可求得A,B的横坐标分别为,.从而,所以(定值).(2)不妨设直线AB的方程为,与椭圆方程联立,并消去得+,有=点P到战线AB的距离,所以=,当且仅当,即时,.2.已知椭圆的左，右焦点为，左，右顶点为，过点的直线分别交椭圆于点（1）设动点，满足，求点的轨迹方
2、程（2）当，时，求点的坐标7（3）设，求证：直线过轴上的定点【解】（1）由题意知:，设，则，化简整理得:（2）把代人椭圆方程,分别求出:，直线①;直线②①、②联立,得：（3）由已知:，直线与椭圆联立，得：直线与椭圆联立，得：直线的方程为：化简得令，解得，即直线MN过X轴上定点。3.在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)(a>b>0)为动点，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点．已知△F1PF2为等腰三角形．(1)求椭圆的离心率e；(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足·＝－2，求点M的轨迹方
3、程．【解答】(1)设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0)．由题意，可得
4、PF2
5、＝
6、F1F2
7、，即＝2c.整理得22＋－1＝0.得＝－1(舍)，或＝.所以e＝.(2)由(1)知a＝2c，b＝c.可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2方程为y＝(x－c)．A，B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝c，7得方程组的解不妨设A，B(0，－c)．设点M的坐标为(x，y)，则＝，＝.由y＝(x－c)，得c＝x－y.于是＝，＝(x，x)．由·＝－2，即·x＋·x＝－2，化简得18
8、x2－16xy－15＝0.将y＝代入c＝x－y，得c＝>0.所以x>0.因此，点M的轨迹方程是18x2－16xy－15＝0(x>0)．4.已知椭圆（a>b>0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。（Ⅰ）求椭圆的方程（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B，已知点A的坐标为（-a,0）．（i）若，求直线l的倾斜角；（ii）若点Q（0,yo）在线段AB的垂直平分线上，且，求yo的值。4.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆
9、锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力.满分14分.（Ⅰ）解：由e=，得.再由，解得a=2b.由题意可知，即ab=2.解方程组得a=2，b=1.所以椭圆的方程为.（Ⅱ）（i）解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.7于是A、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得.由，得.从而.所以.由，得.整理得，即，解得k=.所以直线l的倾斜角为或.（ii）解：设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为.以下分两种情况：（1）当k=0时，点B的坐标是（2
10、,0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是由，得。（2）当时，线段AB的垂直平分线方程为。令，解得.由，，，整理得。故,所以.综上，或.75．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。（I）解：因为点B与A关于原点对称，所以点得坐标为.设点的坐标为由题意得化简得.故动点的轨迹方程为（II）解法一
11、：设点的坐标为，点，得坐标分别为,.则直线的方程为，直线的方程为令得，.于是得面积又直线的方程为，，点到直线的距离.于是的面积当时，得又，7所以=，解得。因为，所以故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.解法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为则.因为,所以所以即，解得因为，所以故存在点S使得与的面积相等，此时点的坐标为.6.已知O为坐标原点，F为椭圆C：x2＋＝1在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为－的直线l与C交于A、B两点，点P满足＋＋＝0.(1)证明：点P在C上；(2)设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、
12、B、Q四点在同一圆上．【解答】(1)证明：F(0,1)，l的方程为y＝－x＋1，代入x2＋＝1并化简得4x2－2x－1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)，则x1＝，x2＝，x1＋x2＝，y1＋y2＝－(x1＋x2)＋2＝1，由题意得x3＝－(x1＋x2)＝－，y3
