线性回归的问题和分析方法扩展

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1、第五章线性回归的问题和分析方法扩展（下）第一节多重共线性第二节随机解释变量第三节误差项非正态分布第四节最大似然估计1第一节多重共线性一、问题的性质和种类二、多重共线性的危害三、发现和检验四、多重共线性的克服和处理2一、问题的性质和种类1、严格多重共线性模型设定问题识别问题2、近似多重共线性主要是数据问题，也有模型设定问题3二、（近似）多重共线性的危害*随着多重共线性程度的提高，参数方差会急剧上升到很大的水平，理论上使最小二乘法估计的有效性、可靠性和价值都受到影响，实践中参数估计的稳定性和可靠程度下降。*证明：把矩阵分为根据分块矩阵的运算法

2、则有4其逆矩阵左上角的首项为其中因此参数的最小二乘估计的方差为5三、发现和检验（一）方差扩大因子检验（二）状态数检验6（一）方差扩大因子检验分析已知记为，为。7当时，当时，方差扩大因子，记作常以方差扩大因子是否大于10来判断第个解释变量是否存在较强的、必须加以处理的多重共线性。8（二）状态数检验1、状态指数将矩阵的每一列用其模相除以实现标准化，然后再求矩阵的特征值，取其中最大的除以最小的后再求平方根，得到该矩阵的“状态数”，记为：通常当大于20或30时，认为存在较明显的多重共线性。9确定哪些解释变量的系数受到多重共线性的影响：先计算各个特

3、征值的“状态指数”这些状态指数的水平在1到之间，很可能有好几个超过20-30的“危险”水平。102、回归系数方差分解:如果V是对角化的(K+1)(K+1)对角矩阵：即其中是的特征值构成的对角矩阵。从而两种理解：如果特征值之和反映对被解释变量解释程度，倒数之和反映引起估计量方差的比重。11四、多重共线性的克服和处理（一）增加样本容量（二）差分方程（三）模型修正（四）分步估计参数（五）岭回归方法12（一）增加样本容量原理：样本容量越大，变量相关性越小，相关越难。注意局限，且不一定解决问题。13（二）差分方程线性回归模型为且已知和之间存在多重共

4、线性问题。作如下变换：改用差分方程进行回归，受多重共线性的影响比较小。14（三）模型修正1、删减解释变量（利用检验结论、经验等）2、整合解释变量（利用原模型回归信息、经验等）3、先验信息参数约束15先验信息参数约束例：生产函数，经对数变换为：如果预先知道所研究的经济有规模报酬不变的性质，即函数中的参数满足就可以克服多重共线性。16（四）分步估计参数例：研究需求规律的模型可以先求出模型中参数的估计值（用截面数据等）。前一个模型变为整理这个模型可以得到从而估计出和的估计值和，得到克服了多重共线性的回归直线17（五）岭回归方法设一个多元线性回归

5、模型为普通最小二乘估计的公式为当解释变量间存在严重的多重共线性时，矩阵接近于奇异。用代替代入最小二乘估计的公式，得到：其中称为“岭回归参数”，一般，是用矩阵对角线上元素和构成的对角线矩阵。18（五）岭回归方法估计量的数学期望为：19第二节随机解释变量一、解释变量的随机性二、随机解释变量和参数估计的性质三、工具变量法估计四、参数估计量的分布性质和统计推断20一、解释变量的随机性和问题解释变量有随机性是普遍的问题。随机解释变量有不同的情况，关键是与误差项的相关性。不同情况对回归分析的影响不同，处理也不同。21二、随机解释变量和参数估计的性质设

6、模型为其中误差项符合古典线性回归模型的各个假设。参数二乘估计的参数为：把代入，得到22如果是随机变量，但与误差项不相关，那么：以为条件的的条件方差是最小方差，从而的方差也是最小方差。23如果是随机变量，与误差项小样本不独立，但大样本渐进不相关，即那么因为因此是的一致估计。虽然不是无偏估计。24三、工具变量法估计设模型为其中不仅是随机变量，而且与有强相关性。对模型作离差变换得两边乘并求和得然后两边除以，有25的“工具变量法估计”为，即的估计可以利用的估计得到26多元回归工具变量法估计引进、选择多个关键变量。向量、矩阵表示。工具变量的选择问题

7、：与替代解释变量相关性强与误差相相关性小避免引起共线性问题27四、参数估计量分布问题和统计推断问题：分布未知两变量线性回归模型参数估计量多元回归模型参数的最小二乘估计影响：t、F检验等仍基本有效。统计量渐近t分布。F统计量类似。28存在随机解释变量时相关统计推断受到一定的影响29第三节误差项非正态分布一、问题的提出二、误差项正态性的检验30一、问题的提出误差项正态分布假设也不一定成立。误差项不服从正态分布时，称“非正态误差项”影响：统计推断、假设检验的有效性等，相关统计推断、检验结论的可靠性降低。31二、误差项正态性的检验（一）直方图检验

8、类似“高尔顿板”32（二）偏斜度和峰度检验“偏斜系数”：用代替，用代替。“峰度”指标：其中用代替。，33第四节最大似然估计一、最大似然估计的原理二、两变量线性回归模型参数的最大似然估计三、多元