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1、基金使用规划（选自2001年全国大学生数学建模竞赛）一、问题描述某校基金会有一笔数额为M元的基金，打算将其存入银行或购买国库券。当前银行存款及各期国库券的利率见表1。假设国库券每年至少发行一次，发行时间不定。取款政策参考银行的现行政策。校基金会计划在n年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n年末仍保留原基金数额。校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M=5000万元，n=10年给出具体结果：1．只存款不购国库券。2．可存款也可购国库券。3．学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金
2、比其它年度多20%。表1银行存款税后年利率（%）国库券年利率（%）活期0.792半年期1.664一年期1.800二年期1.9442.55三年期2.1602.89五年期2.3043.14二、问题分析基金应滚动使用，即一笔钱存银行或购买国库券，到期除去当年所用奖金之后，剩余部分继续存银行或购买国库券。基金到位当年不设奖金，所有资金用于存款或买国库券；最后一年留出基金本金外，剩余资金全部用于奖金。在设计基金使用方案时，须考虑以下两个因素：1.由于从基金到位后的下一年开始每年都要使用奖金，因此方案要保证每年都有存款（或国库券）到期；2.由于银行存款或国库券的档期越长，年平均收益越高，因此，若一笔资金
3、k年后要用（如k=3），一定是将该笔资金直接存k年期银行定期存款，或购买相应年限的国库券。如是，基金使用方案应遵循如下框架：每一年所有可供调用的资金都被分割成分别存1，2，3，5年期银行存款（或购买2，3，5年期国库券）的金额和当年使用的奖金额；基金到位年不设奖金，基金使用最后一年只分割成基金本金和奖金。因此，决策的内容就是各年的可供调用资金的分割方案，决策目标是使奖金总额极大化。决策的结果还应使得每年的奖金额大致相等。三、建模模型1（只存银行不买国库券）由题设，基金使用年限为10年，设基金到位年为第0年，可令xij(i=0,1,2,…,9；j=1,2,3,5)表示第i年可供调用总资金中用于
4、存j年期银行存款的资金，其中，x65、x75、x83、x85、x92、x93、x95恒为0。由于要求每年用于奖金的资金额大致相等，可令t表示从第1年至第10年每年供奖金使用的资金额。实际决策变量共34个。优化目标为10年使用的奖金总额最大，即约束条件除所有变量的非负约束外，就是反映各年资金分割情况的等式约束：式中，r1、r2、r3及r5分别表示银行1年期、2年期、3年期及5年期存款的年利率，M为基金总额。为求解时方便准备数据，可将模型按变量x01,x02,x03,x05,x11,x12,x13,x15,x21,x22,x23,x25,x31,x32,x33,x35,x41,x42,x43,x
5、45,x51,x52,x53,x55,x61,x62,x63,x71,x72,x73,x81,x82,x91,t顺序展开（限于篇幅不再列举）。模型2（可存银行也可买国库券）由于国库券年利率都高于同期银行存款利率，显然，只要能买国库券就不会存同期银行存款。所以，在模型1中将用于表示银行存款额的变量xij以购买同档期国库券金额的变量yij(j=2,3,5)替代，相应银行存款年利率r2、r3及r5分别由R2、R3及R5同期国库券年利率替换后即得模型2s.t.且决策变量均取非负值。模型3（基金到位后第3年的奖金比其它年度多20%）在模型2上稍作修改即得：第4个约束方程中奖金额由t改为1.2t；目标函
6、数由改为。模型为：s.t.且决策变量均取非负值。四、在Matlab中求解仅列举模型1的求解过程，模型2、3可仿照处理。Matlab代码r1=0.018;r2=0.01944;r3=0.0216;r5=0.02304;M=5000;f=zeros(34,1);f(34,1)=-10;Aeq=[1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;-(1+r1),0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,-(1+2*r2)
7、,0,0,-(1+r1),0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r1),0,0,0,1,1,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1;0,0,0,0,0,0,-(1+3*r3),0,0,-(1+2*r2),0,0,-(1+r
