概率讲稿-总复习2

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1、总复习题（二）1．设，问取何值时，为最大？解：====，令上式等于，得，当时，当时；考虑到为正整数，故（1）当为整数时，或（2）当不为整数时，2．掷一颗匀称的色子次，设与分别表示所得点子的最大值与最小值，求解：记=每次掷色子出现的点数，则=故有=+因此==3．若是取正整数值的随机变量，并且在已知的条件下，的概率与无关，则服从几何分布。证明：由题义可令（为与无关之常数）即=令，，则，进而（*）式化为7，或者，对任意的，而（？）可得，对任意的，因此=，即为几何分布。证完1．在一次核反应中，某个粒子可能分裂为2或3个粒子或不分裂，这三种可能性相应的概率分别为、和；

2、新粒子的形态是相同的（与老粒子也相同），并且行为彼此独立。求两次反应以后粒子总数的分布。解：====2．正值随机变量具有性质，，，当且仅当它服从指数分布。证明：依条件概率公式===记，则上式改为=，满足此式的函数仅为指数函数令，由概率的性质知，故存在,使得，因此的分布函数为==3．设电视机的使用年数，某人买了一台旧电视，求还能使用5年以上的概率；如果电视机的使用年数不服从指数分布，设其分布函数为，且已知这台电视已经使用了年，则应当怎样计算上述概率？7解：（1）====（2）==1．气体分子在时与另一分子碰撞后，它的时刻以前不与其他分子碰撞，而在这段时间内与其

3、他分子碰撞的概率为，求它的自由运行时间（即连续两次碰撞之间的时间）大于的概率。解：设表示气体分子自由运行时间，令====，即=，（？）解此微分方程得2．公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过。乘客到达汽车站的任意时刻是等可能的。求乘客候车时间不超过3分钟的概率。解：乘客到达汽车站的时刻，则（{候车时间不超过3分钟}）=（{}）=3．自动生产线在调整以后出现废品的概率为。生产过程中出现废品时立即重新进行调整。求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布。解：（）10．设的分布函数是连续函数，则11．设的密度函数=，求的密度。解：===，7===12．点随机地落在中心在

4、原点、半径为的圆周上，并且对弧长是均匀分布的，求落点的横坐标的概率密度。解：，===，===,13．设随机变量的概率密度为求（1）常数；（2）落在区间的概率。解：（1）由得（2）=14．先抛一枚匀称的色子，然后抛与色子点数相同的硬币。（1）求国徽朝上个数的分布列；（2）若得到3个国徽朝上，问色子抛出点的概率有多大？解：（1）====（2）记=色子抛出点，则===15．一袋子中装有5只球，编号为1，2，3，4，5。在袋中同时取3只，以表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量的分布。7解：=，=，=16．将一颗色子抛两次，以表示两次中得到的小的点数，求的分布律

5、。解：====17．一个房间有3扇同样大小的窗子，其中只有一扇是打开的。房间里有一只鸟，它只能从开着的窗子飞出去。假定鸟没有记忆，它飞向各扇窗子是随机的。（1）以表示鸟为了飞出房间试飞的次数，求的分布律。（2）假定鸟有记忆，它飞向同一窗子的尝试不超过一次。以表示它为了飞出房间试飞的次数，求的分布律。（3）求，解：（1）此为几何分布=，（2）设=第次飞出窗子。=======（3）=++==++=18．一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻每个设备被使用的概率为，问在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至少有3个设备被使用的概率为多少

6、？（3）至多有3个设备被使用的概率为多少？（4）至少有1个设备被使用的概率为多少？解：此为二项分布问题。19．设事件在每一次试验中发生的概率为，当发生不少于3次时，指示灯发出信号。（1）进行了5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。解：（1）{指示灯发出信号的概率}==++720．有甲乙两种味道和颜色都极为相似的酒各4杯，如果从中挑4杯，能将甲种酒全部挑出来，算是试验成功一次。（1）某人随机地去猜，问他试验成功一次的的概率是多少？==（2）某人声称他通过品尝能区分两种酒。他连续试验10次，成功3次。推断

7、他是猜对的还是他的确有区分能力。解：（2）假定他没有区分能力，则他连续试验10次，成功3次的概率为=，可能性如此小的事件是不太可能发生的，居然发生了，只能表明我们的假设有误。所以他有区分能力。21．一电话总机每分钟收到呼唤的次数，求（1）某一分钟恰有8次呼唤的概率；（2）某一分钟的呼唤的次数大于3次的概率。22．在区间上任意投掷一个质点，以表示这个质点的坐标。设这个质点落在中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比。求的分布函数。解：=（均匀分布）23．由统计物理学知，分子运动速度的绝对值服从Maxwell分布，其概率密度为=，其中，为Boltzmann常

8、数，为绝对温度，是分子质量。求常数。24．设随机变量