函数的基本概念梳理以及题型

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1、⑴函数的定义①传统定义：在某一个变化的过程中，有两个变量和，如果对于在某一个范围内的任意一个的值，都有唯一的值与之对应，则称是的函数。②现代定义：设A、B是两个非空数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中任意一个数，在集合B中都有唯一一个数和它对应，那么就称：为从集合A到集合B中的一个函数，记作其中叫做自变量，的取值集合A叫做函数的定义域；与的值对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。⑵函数的理解：①A、B都是非空数集（也就是限定了范围），因此定义域（或值域）为空集的函数不存在②

2、若是从集合A到集合B的函数，则应紧扣它的“任意性”和“唯一性”，即“任意性”——对于A中的任意一个数；“唯一性”——在集合B中的都有唯一的确定的数和它对应（还应该注意它的方向性、确定性）③在现代定义域中B不一定是，函数的值域，如函数可以称为实数集到实数集的函数。④对应关系、定义域、值域是函数的三要素，缺一不可。其中对应关系是核心，定义域是根本，当定义域和对应关系已经确定，则值域也就确定了。探究：若是从A到B的函数，则集合A、B分别是函数的定义域与值域么？A定是值域，B可以是也可以不是，若函数的值域

3、为C,则C是B的非空子集⑶函数符号的含义：表示一个整体，一个函数。而记号“”可以看做是对“”施加的某种法则（或运算），如。当时，课看做是对“”施加了这样的运算法则：先平方，再减去它与2的积，再加上3；当x是某个代数式（或某一个函数符号）时，则左右两边的x都有同一个代数式（或函数符号）代替，如，等等，与的区别就在于前者是函数值，是常数；而后者是因变量，是变量。例题：某商店将进价为8元的商品按每件10元售出，每天可售出100件，现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的销售价每提

4、高1元其销售量就减少10件，则每天的销售利润是销售单价的函数吗？若是求它的定义域和对应法则；若不是，则说明理由。点评：要判断两个变量是否有函数关系，只要看他们是否具备以下两点：①看定义域与对应法则是否给出；②看根据给出的对应法则，自变量x在定义域中任取一个值，是否都能确定唯一的函数值y。例题判断下列关系式能否确定y是x的函数。①②③④点评：判断一个式子能否确定y是x的函数，关键看使式子有意义的x的值是否可以确定唯一的y值与之对应，x不存在或y值不唯一均不能确定函数y是x的函数。例题：若一系列函数的

5、解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”函数解析式为，值域为{3，1，9}的孪生函数共有（）个。A、9B、8C、12D、4例2,(1)给出下列各组函数:①¦(x)=,g(x)=x-1;②¦(x)=,g(x)=;③¦(x)=,g(x)=;④¦(x)=,g(x)=.哪几组的两个函数为相同的函数？它们的序号为.区间及其表示：区间是数轴上某一线段或者射线或者直线上的点所对应的实数的取值集合的又一种符号语言，即用端点所对应的数、“”（正无穷大）、“”（负无穷大）、方括号（包含端点）、小

6、圆括号（不含端点）等符号来表示。注意：区间实质上是一类特殊数集（部分实数组成的集合）的符号表示，因此我们在解题时必须把它与集合同等对待。例题：将下面的集合用区间表示出来：______________________________________________________________________点评：由于区间是集合的一种符号语言，因此区间与区间之间，以及区间与集合之间可用集合的运算符号来连接和运算。映射⑴映射设A、B是两个集合，如果按照某种对应关系，对于集合A中的任意一个元素，在集合

7、B中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对应（包括集合A、B,以及集合A到集合B的对应关系）叫做集合A到集合B的映射，记作。注意：映射的概念可以概括为“取元任意性，成象唯一性”，即①映射的三要素：原象、象、对应关系②A中元素不可剩，B中元素可剩③多对一行，一对多不行④映射具有方向性：与一般是不同的映射⑵映射与函数的关系①联系：映射的概念是在函数的现代定义（集合语言定义的）的基础上引申、拓展的；函数是一个特殊的映射，因此反过来，要善于用映射的语言来叙述函数的问题。②区别：函数是非空数集A到非空数集B的

8、映射；而对于映射而言，A和B不一定是数集。例题：例下列对应是不是从A到B的映射?(1)A＝Q，B＝Q+，f：x→｜x｜.(2)A＝B＝N*，f:x→｜x-2｜.(3)A＝｛x∈N｜x≥2｝，B＝｛y∈Z｜y≥0｝，f:x→y＝x2-2x+1.(4)A＝｛x｜x∈(0，+∞)｝，B＝｛y｜y∈R｝，f:x→y＝±.解：(1)中，当x＝0∈A时，｜x｜＝0B，即A中的元素0在B中没有象，故(1)不是映射.(2)中，当x＝2∈A时，｜x-2｜＝0B，与(1)类似，(2)也不是映射.(3)