理论力学第十一章

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1、授课教师信息赵刚教授、博导电子科学与技术系（23系）中国科学技术大学办公室：电四楼317室电话：3600312/182-5692-9838实验室主页：http://staff.ustc.edu.cn/~zhaog/第11章动量矩定理质点和质点系的动量矩动量矩定理刚体绕定轴转动的微分方程刚体对轴的转动惯量质点系相对质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程引言由静力学力系简化理论知：平面任意力系向任一简化中心简化可得一力和一力偶，此力等于平面力系的主矢，此力偶等于平面力系对简化中心的主矩。由刚体平面运动理论知

2、：刚体的平面运动可以分解为随同基点的平动和相对基点的转动。若将简化中心和基点取在质心上，则动量定理(质心运动定理)描述了刚体随同质心的运动的变化和外力系主矢的关系。它揭示了物体机械运动规律的一个侧面。刚体相对质心的转动的运动变化与外力系对质心的主矩的关系将由本章的动量矩定理给出。它揭示了物体机械运动规律的另一个侧面。1质点的动量矩质点Q的动量对于点O的矩，定义为质点对于点O的动量矩，是矢量。11.1质点和质点系的动量矩xyzqOmvMO(mv)Mz(mv)r质点动量mv在oxy平面内的投影(mv)xy

3、对于点O的矩，定义为质点动量对于z轴的矩，简称对于z轴的动量矩，是代数量。类似于力对点之矩和力对轴之矩的关系，质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影，等于对z的动量矩。在国际单位制中，动量矩的单位是kg·m2/s。质点的动量矩[MO(mv)]z＝Mz(mv)质点系对某点O的动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢量和。质点系的动量矩2质点系的动量矩LO=ΣMO(mivi)质点系对某轴z的动量矩等于各质点对同一z轴的动量矩的代数和。LZ=ΣMz(mivi)质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的z轴上的投影，等于

4、质点系对该轴的动量矩。[LO]z=Lz3平动刚体的动量矩刚体平移时，可将全部质量集中于质心，作为一个质点计算其动量矩。刚体的动量矩4定轴转动刚体的动量矩令Jz＝Σmiri2称为刚体对z轴的转动惯量,于是得即：绕定轴转动刚体对其转轴的动量矩等于刚体对转轴的转动惯量与转动角速度的乘积。例1均质圆盘可绕轴O转动，其上缠有一绳，绳下端吊一重物A。若圆盘对转轴O的转动惯量为J，半径为r，角速度为w，重物A的质量为m，并设绳与原盘间无相对滑动，求系统对轴O的动量矩。解：LO的转向沿逆时针方向。质点系的动量矩11.

5、2.1质点的动量矩定理设质点Q对定点O的动量矩为MO(mv)，作用力F对同一点的矩为MO(F)，如图所示。11.2动量矩定理xyzOMO(mv)mvrMO(F)F将动量矩对时间取一次导数，得11.2.1质点的动量矩定理因为所以又因为所以xyzOMO(mv)mvrMO(F)F质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。将上式投影在直角坐标轴上，并将对点的动量矩与对轴的动量矩的关系代入，得质点对某固定轴的动量矩对时间的一阶导数等于质点所受的力对同一轴的矩。11.2.1质点的动量矩定理例2

6、图示为一单摆（数学摆），摆锤质量为m，摆线长为l，如给摆锤以初位移或初速度（统称初扰动），它就在经过O点的铅垂平面内摆动。求此单摆在微小摆动时的运动规律。解：以摆锤为研究对象，受力如图，建立如图坐标。在任一瞬时，摆锤的速度为v，摆的偏角为j，则式中负号表示力矩的正负号恒与角坐标j的正负号相反。它表明力矩总是有使摆锤回到平衡位置的趋势。质点的动量矩定理MyxNvmg由即这就是单摆的运动微分方程。当j很小时摆作微摆动，sinj≈j，于是上式变为此微分方程的解为其中A和a为积分常数，取决于初始条件。可见单摆

7、的微幅摆动为简谐运动。摆动的周期为显然，周期只与l有关，而与初始条件无关。得设质点系内有n个质点，作用于每个质点的力分为外力Fi(e)和内力Fi(i)。由质点的动量矩定理有这样的方程共有n个，相加后得由于内力总是成对出现，因此上式右端的第二项11.2.2质点系的动量矩定理上式左端为于是得11.2.2质点系的动量矩定理质点系对某固定点O的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和。在应用质点系的动量矩定理时，取投影式质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对于同

8、一轴的矩的代数和。11.2.2质点系的动量矩定理1.质点动量矩守恒定律如果作用在质点上的力对某定点(或定轴)之矩恒等于零，则质点对该点(或该轴)的动量矩保持不变。11.2.3动量矩守恒定理当外力对于某定点(或某定轴)的主矩等于零时，质点系对于该点(或该轴)的动量矩保持不变。2.质点系动量矩守恒定律例3高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为R，质量为m1，绕O轴转动。小车和矿石的总质量为m2。作用在鼓轮上的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动惯量为J，轨道倾角