量子态的不同表象,幺正变换

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1、*第7章量子力学中的矩阵形式与表象变换一、直角坐标系中的类比取平面直角坐标系x1x2的基矢为e1和e2,长度为1，彼此正交标积我们将其称之为基矢的正交归一关系.平面上的任一矢量可以用它们来展开A1、A2代表A在坐标系中的投影.称为矢量A在坐标系x1x2中的表示.7.1量子态的不同表象，么正变换二、坐标系顺时针转动现在将坐标系x1x2顺时针方向转动，得到x1′x2′,其基矢为e1′和e2′,满足在此坐标系中,矢量A表示成其中投影分量是同一个矢量A在两个坐标系中的表示有什么关系？根据(2)和(2')式上式分别用e1′和e2′点乘,得表成矩阵的形式为或记为把A在两坐标中的表示联系起来的

2、变换矩阵矩阵R的矩阵元是两个坐标系的基矢之间的标积，它表示基矢之间的关系.故当R给定，则任何一个矢量在两坐标系间的关系也随之确定.三、变换矩阵的性质变换矩阵R具有下述性质：是R的转置矩阵真正交矩阵（实矩阵）四、不同表象中基矢的关系量子态和力学量(算符)的不同表示形式,称为表象。形式上与此类似，在量子力学中，按态叠加原理，任何一个量子态，可以看成抽象的Hilbert空间中的一个“矢量”.体系的任何一组对易力学量完全集F的共同本征态，可以用来构成此空间的一组正交归一完备的基矢（称为F表象）对于任意态矢量y，可以用它们展开其中这一组数就是态(矢)在F表象中的表示，它们分别是态矢y与各基

3、矢的标积.与平常解析几何不同的是：①这里的“矢量”(量子态)一般是复量；②空间维数可以是无穷的，甚至不可数的.现在考虑同一个态y在另一组力学量完全集F′中的表示.F′表象的基矢,即F′的本征态y'a,它们满足正交归一性对于任意态矢量y，可以用它们展开这一组系数就是态(矢)y在F'表象中的表示，显然(14)左乘(取标积),得与有何关系其中F′表象基矢与F表象基矢的标积(15)式也可以写成矩阵的形式：简记为式(17)就是同一个量子态在F′表象中的表示与它在F表象中表示的关系，它们通过S矩阵相联系，且变换矩阵S为么正(unitary)矩阵矩阵，此变换也称为么正变换.