递推方程与生成函数

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1、主要内容递推方程的定义及实例递推方程的公式解法递推方程的其他解法生成函数及其应用指数生成函数及其应用Catalan数与Stirling数第十三章递推方程与生成函数113.1递推方程的定义及实例定义13.1设序列a0,a1,…,an,…,简记为{an}.一个把an与某些个ai(i

2、，5！，…,记作{F(n)}递推方程F(n)=nF(n1)初值F(1)=12例1从A柱将这些圆盘移到C柱上去.如果把一个圆盘从一个柱子移到另一个柱子称作一次移动，在移动和放置时允许使用B柱，但不允许大圆盘放到小圆盘的上面.问把所有的圆盘的从A移到C总计需要多少次移动？初值是T(1)=1可证明解是T(n)=2n1移动n个盘子的总次数为T(n).因此得到递推方程T(n)=2T(n1)+1.递推方程的实例:Hanoi塔3两个排序算法归并算法Mergesort(A,p,r)//对A的下标p到r之间数排序1.ifp

3、thenq(p+r)/2//q为p到r的中点，3.Mergesort(A,p,q)4.Mergesort(A,q+1,r)5.Merge(A,p,q,r)//归并排好序数组A[p..q]与A[q+1..r]插入排序算法INSERTION-SORT(A,n)1.forj2tonkeyA[j]ij–14whilei>0andA[i]>key5.doA[i+1]A[i];ii–17.A[i+1]key4递推方程的实例:算法分析例2哪种排序算法在最坏情况下复杂度比较低？插入排序，归并排序插入排序W(n)=W(

4、n1)+n1W(1)=0解得W(n)=O(n2).归并排序，不妨设n=2k.W(n)=2W(n/2)+n－1W(1)=0解得W(n)=O(nlogn)513.2递推方程的公式解法特征方程、特征根递推方程的解与特征根的关系无重根下通解的结构求解实例有重根下通解的结构求解实例6其中a1,a2,…,ak为常数，ak0称为k阶常系数线性齐次递推方程b0,b1,…,bk1为k个初值定义13.2常系数线性齐次递推方程的标准形：常系数线性齐次递推方程实例：Fibonacci数列的递推方程7特征方程与特征根定义13.3特征方程

5、xka1xk1…ak=0，特征方程的根称为递推方程的特征根实例：递推方程fn=fn1+fn2特征方程x2x1=0特征根8递推方程解与特征根的关系定理13.1设q是非零复数，则qn是递推方程的解当且仅当q是它的特征根.qn是递推方程的解qna1qn1a2qn2…akqnk=0qnk(qka1qk1a2qk2…ak)=0qka1qk1a2qk2…ak=0（因为q0）q是它的特征根定理13.2设h1(n)和h2(n)是递推方程的解，c1,c2为任意常数,则c1

6、h1(n)+c2h2(n)也是这个递推方程的解.推论若q1,q2,…,qk是递推方程的特征根，则c1q1n+c2q2n+…+ckqkn是该递推方程的解，其中c1,c2,…,ck是任意常数.9无重根下通解的结构定义13.4若对常系数线性齐次递推方程的每个解h(n)都存在一组常数c1,c2,…,ck使得h(n)=c1q1n+c2q2n+…+ckqkn成立，则称c1q1n+c2q2n+…+ckqkn为该递推方程的通解定理13.3设q1,q2,…,qk是常系数线性齐次递推方程不等的特征根，则H(n)=c1q1n+c

7、2q2n+…+ckqkn为该递推方程的通解.10例3Fibonacci数列：fn=fn1+fn2，特征根为通解为代入初值f0=1,f1=1,得解得解是实例11有重根下求解中的问题例4解特征方程x24x+4=0通解H(n)=c12n+c22n=c2n代入初值得：c无解.问题：两个解线性相关12有重根下的通解结构定理13.4设q1,q2,…,qt是递推方程的不相等的特征根，且qi的重数为ei，i=1,2,…,t，令那么通解13例5求解以下递推方程其中待定常数满足以下方程组原方程的解为解特征方程x4+x33x25x

8、2=0,特征根1,1,1,2通解为求解实例14递推方程的标准型通解结构特解的求法多项式函数指数函数组合形式常系数线性非齐次递推方程求解15证代入验证,H(n)是解.下面证明任意解h(n)为某个齐次解与特解H*(n)之和.设h(n)为递推方程的解，则h(n)H*(n)是齐次解，即h(n)是一个齐次解与H*(n)之和.定理1