递推关系与生成函数

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1、递推关系和生成函数1.设表示斐波那契序列。通过用小的n值计算下列每一个表达式的值，猜测一般公式，然后用数学归纳法和斐波那契递归证明之。i.ii.iii.iv.解：i.ii.iii.当为偶数时，当为奇数时，iv.1.求解初始值和的递推关系，（）。解：特征方程为：解得特征根为令通解为，然后将初始条件代入可得：解得则方程的解为：。2.求解初始值的递推关系，（）。解：3.求解初始值，和的递推关系，（）。解：特征方程为解得特征根为令通解为，将初始条件代入得：解出，方程的解为。4.求解非齐次递推关系（）解：先解对应的其次方程，其特征方程为可知我们令齐次方程的通解为，由于原方程中

2、的中的2不是特征方程的根，且中的3是0次多项式，因此，原方程的特解为，p为待定常系数，代入原方程，得解得，因而原方程的通解形如将初值条件代入得从而原方程的解为。1.求解非齐次递推关系（）解：先解对应的其次方程，其特征方程为可知我们令齐次方程的通解为，由于原方程中的1不是特征方程的根，且是1次多项式，因此，原方程的特解为，p，q为待定常系数，代入原方程，得解得，因而原方程的通解形如将初值条件代入并求解，从可得原方程的解为。