模糊集理论及其应用第三章

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1、模糊集理论及其应用第三章模糊关系与模糊聚类分析1第三章模糊关系与模糊聚类分析3.1模糊关系及其运算(P3~10)3.2模糊等价关系及其性质(P11~18)3.4基于模糊等价矩阵的模糊聚类分析(P19~33)3.5基于目标函数的模糊ISODATA聚类分析(P34~39)31119342§3.1模糊关系及其运算3.1.1普通关系与Boolean矩阵定义3.1.1设U,V为两个论域,若R∈P(U×V),则称R为U到V的一个普通关系.若(u,v)∈R,则称u对v有关系R,记作uRv;若(u,v)R,则称u对v没有关系R,记作;若U=V,且R∈P(U×

2、V),则称R为U上的普通关系.例如设U表示某校全体学生的集合,R={(u,v)

3、v是u的同学}.则R表示U上的“同学”关系目录3定义3.1.2设U={u1,u2,…,um},V={v1,v2,…,vn},R∈P(U×V),令rij=R(ui,vj)(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n),则R=(rij)m×n为一个m×n矩阵,由于故R=(rij)m×n是一个布尔矩阵.这说明:有限论域间的普通关系可由Boolean矩阵来表示.43.1.2模糊关系与模糊矩阵定义3.1.3设U,V为两个论域,若R∈F(U×V)则称R为U到V的一个模糊关系.对(u

4、,v)∈U×V,称R(u,v)为u对v具有模糊关系R的相关程度.特别地(1)称R∈F(U×U)为U上的模糊关系;(2)若(u,v)∈U×U,有则称R为U上的恒等关系,这时记R=I;(3)若(u,v)∈U×V,有R(u,v)=0,则称R为U到V的零关系,这时记R=0;(4)若(u,v)∈U×V,有R(u,v)=1,则称R为全称关系,这时记R=E.目录5由定义可见,R(u,v)反映了u对于v的相关程度,若R(u,v)越接近于1,则u与v对R的关系越密切;若R(u,v)越接近于0,则u与v对R的关系越稀疏.特别地,当R(u,v)∈{0,1}时,

5、与u与v对R具有明确关系.因此,模糊关系是普通关系的推广,它能从更深刻的意义上表现出事物的更广泛的联系.定义3.1.4设U={u1,u2,…,um},V={v1,v2,…,vn},R∈F(U×V),则可以用一个m×n阶矩阵来表示,即R=(rij)m×n,其中rij=R(ui,vj)(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n),由于R(ui,vj)∈[0,1],故称R=(rij)m×n为模糊矩阵.由于{0,1}[0,1],故模糊矩阵是Boole矩阵的推广.6例1设x,y为汽车，则“x比y好”这种关系就是模糊关系例2设x,y指人，则“x和y相象”这

6、种关系也是模糊关系例3：设:若X是指实数轴,则“x比y大得多”隶属度函数:7例设身高论域X={140,150,160,170,180}(单位：cm),体重论域Y={40,50,60,70,80}(单位：kg),下表给出了身高与体重的模糊关系.405060708014010.80.20.101500.810.80.20.11600.20.810.80.21700.10.20.810.818000.10.20.8183.1.3模糊关系的运算由于模糊关系R∈F(U×V),故模糊关系的运算其实就是模糊集合的运算,有关模糊集合的一切性质对模糊关系来说都成

7、立.定义3.1.5设R,Q为U到V的两个模糊关系,则(1)称R∪Q为R与Q的并,其相关函数为(R∪Q)(u,v)=R(u,v)∨Q(u,v),(u,v)∈U×V.(2)称R∩Q为R与Q的交,其相关函数为(R∩Q)(u,v)=R(u,v)∧Q(u,v),(u,v)∈U×V.(3)称R为R的补,其相关函数为R(u,v)=1－R(u,v),(u,v)∈U×V.目录9(4)称RT∈F(V×U)为R的转置,其相关函数为RT(v,u)=R(u,v),(u,v)∈U×V.(5)对∈[0,1],,称R={(u,v)∈U×V

8、R(u,v)≥}.

9、为R的截关系;而称RS={(u,v)∈U×V

10、R(u,v)>}.为R的强截关系.(6)对∈[0,1],称R为数与模糊关系R的模糊截积关系,其相关函数为(R)(u,v)=∧R(u,v),(u,v)∈U×V.103.1.2模糊关系与模糊矩阵下面介绍模糊转置关系的运算定理3.1.1设R,Q∈F(U×V)则有(1)复原律:(RT)T=R;(2)交换律:(R∪Q)T=RT∪QT,(R∩Q)T=RT∩QT;(3)单调性:RQRTQT;(4)∈[0,1],(RT)=(R)T,(RT)S=(RS)T;(5)(RT)=(R

11、)T.目录11例3.1.1设U={u1,u2,u3},R,Q∈F(U×U),且目录12定义3.1.6设R∈F(U×V),Q∈F(V×W),则对R,Q