模糊集合及其运算

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1、第2章模糊控制的理论基础2.1引言2.2模糊集合论2.3模糊逻辑、模糊推理与合成2.4本章小结12.1引言一、模糊的概念模糊是相对清晰而言的。现实中存在两类概念：一类是清晰的，如电灯的状态是开或关，人的性别是男或女，具有非此即彼的特性。另一类是模糊的，如人的个子高矮，胖瘦，聪明，善良等。控制系统中的输入输出也可以用模糊的概念描述。2.1引言22.1引言二、模糊控制的产生和发展1、模糊控制以模糊集合论为数学基础诞生：1965Zadeh模糊集理论拓展了古典集合论，使得模糊性现象能够用数学模型来描述。这一开创性工作，标志着模糊数学的诞生。2、模糊控制的发展产

2、生初期，发展缓慢，其精确性、严密性受到质疑。随着70年代模糊控制在欧洲的成功应用，如1974年模糊控制成功应用于锅炉和蒸汽机的控制。80年代，随着各国的重视，模糊控制不断取得发展。2.1引言32.2模糊集合论基础一、经典集合1、经典集合的定义集合：描述具有某种属性、确定的、彼此间可以区别的事物的全体。论域：被考虑对象所有元素的全体；用大写的U、V、W、X、Y、Z表示。元素：论域中的每个对象；用小写字母u,v,w,x,y,z表示。2.2模糊集合论基础4一、经典集合给定一论域U和一种属性P，U中所有具有属性P的元素组成的总体叫集合，常用A、B、C···表示

3、。特性：对于论域U上的集合A，U中的任一个元素，要么属于A，要么不属于A。举例：2.2模糊集合论基础5一、经典集合2、经典集合的表示方法列举法描述法归纳法特征函数表示法例1：用前三种方法表示不超过10的自然数。2.2模糊集合论基础6一、经典集合例2：以特征函数表示集合A“人体最舒适的温度”，论域为[0，40]，假设舒适温度为[15，25]。2.2模糊集合论基础7一、经典集合解：集合A可表示为：的取值称为元素u的特征值。定义：如果对于论域U中任一个元素u，都有,那么可以把A表示为：称为集合A的特征函数。从U到的一一映射关系，唯一的确定了一个集合A，2.2

4、模糊集合论基础8二、模糊集合1、模糊集合的定义模糊集合：论域U中的元素在多大程度上具有某种属性。定义2-1模糊集合：给定论域U，U到[0，1]闭区间的一个映射确定了一个模糊集F。称为集合F的隶属度函数。，表示u完全属于F；，表示u完全不属于F；，表示u部分属于F。2.2模糊集合论基础9二、模糊集合例：以模糊集合描述集合F为“人体最舒适的温度”，论域为[0，40]。解：舒适温度F的隶属函数如下图所示：2.2模糊集合论基础10二、模糊集合问题：隶属度函数与特征函数的区别？隶属度函数与概率的区别？2.2模糊集合论基础11二、模糊集合2、模糊集合的表示方法（1

5、）连续论域2.2模糊集合论基础12二、模糊集合集合表示为2.2模糊集合论基础∫不表示积分/不表示除法+也不表示加法。13二、模糊集合（2）离散论域查德表示法：序偶表示法：向量表示法：2.2模糊集合论基础14二、模糊集合例：设论域，集合F表示“小的数”，则根据经验可以给出其隶属函数：2.2模糊集合论基础查德表示法：隶属度是0的项可省略序偶表示法：隶属度是0的项可省略向量表示法：隶属度是0的项不可省略15三、模糊集合的运算定义2-2空集：论域U上模糊集A，对任一均有；全集：论域U上模糊集B，对任一均有。2.2模糊集合论基础定义2-3包含：A、B是论域U上的

6、模糊集，若对任一均有，则称A是B的一个子集。表示为：或B包含A。相等：A、B是论域U上的模糊集，若对任一均有，则称A=B。16三、模糊集合的运算定义2-4设A、B是论域U中的两个模糊集，隶属函数分别为和，那么，模糊集合的并、交、补运算分别定义为：2.2模糊集合论基础并：的隶属度函数为；取大值交：的隶属度函数为；取小值补：的隶属度函数为17三、模糊集合的运算例：论域上的两模糊集A、B，求以下运算：2.2模糊集合论基础18三、模糊集合的运算定理2-1模糊集运算的基本定律：设U是论域，A、B、C为U中的任意模糊子集，则下列等式成立：1）幂等律2）结合律3）交

7、换律4）分配律5）同一律6）零一律7）吸收律8）德·摩根律9）双重否定律不满足互补律！！2.2模糊集合论基础19