高二数学单位圆与三角函数线

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1、单位圆与三角函数线由三角函数的定义我们知道，对于角α的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法——几何表示法单位圆的概念一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴的交点分别为A(1，0)，A’(－1，0).而与y轴的交点分别为B(0，1)，B’(0，－1).有向线段的概念：带有方向的线段叫有向线段；有向线段的数值由其长度大小和方向来决定。如在数轴上，

2、OA

3、=3，

4、OB

5、=3设任意角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点

6、P(x，y），过P作x轴的垂线，垂足为M；做PN垂直y轴于点N，则点M、N分别是点P在x轴、y轴上的正射影.三角函数线根据三角函数的定义有点P的坐标为(cosα,sinα)其中cosα=OM，sinα=ON.这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α的终边与单位圆交点的横坐标与纵坐标.以A为原点建立y’轴与y轴同向，y’轴与α角的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T’)，则tanα=AT(或AT’)我们把轴上的向量分别叫做α的余弦线、正弦线和正切线.例1.分别作出、、的正弦线、余弦线、正切线。例2.比较大小：(1)sin1和sin1.5;(2)cos1

7、和cos1.5;(3)tan2和tan3.解：由三角函数线得sin1cos1.5tan2

8、sinα

9、+

10、cosα

11、≥1.证明：在△OMP中，OP=1，OM=

12、cosα

13、,MP=ON=

14、sinα

15、，因为三角形两边之和大于第三边，所以

16、sinα

17、+

18、cosα

19、≥1。例5.已知α∈(0，)，试证明sinα<α

20、.证明：sinα=

21、ON

22、=

23、MP

24、,α=tanα=

25、AT

26、.又所以即sinα<α

27、线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在。练习1.函数y=++的值域是()(A){－1，1}(B){－1，1，3}(C){－1，3}(D){1，3}C2.已知角θ的终边上有一点P(－4a,3a)(a≠0),则2sinθ+cosθ的值是()(A)(B)－(C)或－(D)不确定C3.设A是第三象限角，且

28、sin

29、=－sin,则是()(A)第一象限角(B)第二象限角(C)第三象限角(D)第四象限角D4.sin2·cos3·tan4的值()(A)大于0(B)小于0(C)等于0(D)不确定B5.若sinθ·cosθ＞0,则θ是第象限的角一、三06.sin(

30、－π)+cosπ·tan4π－cosπ=.解：∵P(－2,y)是角θ终边上一点,r=7.已知P(－2，y)是角θ终边上一点，且sinθ=－,求cosθ的值.解得y=－1.所以cosθ=－.