《3.1回归分析的基本思想及其初步应用（二）》课件

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1、3.1回归分析的基本思想及其初步应用(二)例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示.编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.案例1：女大学生的身高与体重解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系.分析：由于问题中要求根据身高预报体重，因此选取身高为自变量，体重为因变量

2、．2.回归方程：1.散点图；本例中，r=0.798>0.75．这表明体重与身高有很强的线性相关关系，从而也表明我们建立的回归模型是有意义的.探究：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般可以认为她的体重接近于60.316kg.即，用这个回归方程不能给出每个身高为172cm的女大学生的体重的预测值，只能给出她们平均体重的值.例1从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示.编号12345678身高/cm165165157170175

3、165155170体重/kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重.案例1：女大学生的身高与体重解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系.3、从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y=bx+a描述它们关系.我们可以用下面的线性回归模型来表示：y=bx+a+e，(3)其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差.y=bx+a+e，E(e

4、)=0，D(e)=(4)在线性回归模型(4)中，随机误差e的方差越小，通过回归直线(5)预报真实值y的精度越高.随机误差是引起预报值与真实值y之间的误差的原因之一，其大小取决于随机误差的方差.另一方面，由于公式(1)和(2)中和为截距和斜率的估计值，它们与真实值a和b之间也存在误差，这种误差是引起预报值与真实值y之间误差的另一个原因.思考:产生随机误差项e的原因是什么？随机误差e的来源(可以推广到一般)：1、忽略了其它因素的影响：影响身高y的因素不只是体重x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；3、身高y的观

5、测误差.以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好.5943616454505748体重/kg170155165175170157165165身高/cm87654321编号那么，在这个总的效应(总偏差平方和)中，有多少来自于解析变量(身高)？有多少来自于随机误差？假设随机误差对体重没有影响，也就是说，体重仅受身高的影响，那么散点图中所有的点将完全落在回归直线上.但是，在图中，数据点并没有完全落在回归直线上.这些点散布在回归直线附近，所以一定是随机误差把这些点从回归直线上“推”开了.在例1中，残差平方和约为128.361.因此，数据点和它在回归直线上相应位

6、置的差异是随机误差的效应，称为残差.例如，编号为6的女大学生，计算随机误差的效应(残差)为：对每名女大学生计算这个差异，然后分别将所得的值平方后加起来，用数学符号称为残差平方和，它代表了随机误差的效应.表示为：表3-2列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据.在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关，是否可以用回归模型来拟合数据.残差分析与残差图的定义：然后，我们可以通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析.编号12345678身高/cm165165157170175165

7、155170体重/kg4857505464614359残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图.2021/9/30郑平正制作残差图的制作及作用.坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择；若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域；对于远离横轴的点，要特别注意.身高与体重残差图异常点错误数据模型问题几点说明：第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否

8、有人为的错误.如果数据采