资源描述：
《指数函数的反函数》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、指数函数的反函数是什么?课前准备前天,周烨告知同学们,将在多媒体教室上一次分组讨论课,课题是“指数函数的反函数是什么?”同时布置了讨论前的作业.该班是普通班,与特长班相比,学生数学基础普通较差,但不少学生还比较喜欢上周烨老师的数学课.这可能与周烨老师比他们年龄不大了多少有关.第一次听说上数学分组讨论课,学生们非常积极,数学课代表邓晰昨天即将全班同学按四人一小组分好,并且每组的两台电脑已登记编号.一切准备就绪,学生们急切地等待这堂课的到来.王玮的“发言”虽说学生们对电脑并不陌生,但数学课上用电脑,却是头一次.上课铃声一响,整个多媒体教室异常安静.学生们打开电脑后,急
2、切新奇地注视着大屏幕前的老师,等待着老师发出操作命令.不一会儿,大屏幕与各组电脑屏幕上同时出现了同一个图形.“Ｙｅ……来劲!”一贯上课无精打采的王玮兴奋地叫了起来.周烨乘机问:“王炜,你知道屏幕上是什么函数图象吗?”“嗯……眼熟.”王玮支支吾吾答不出来.“笨蛋,这不是指数函数图象吗!”同组的张杰急不可待地骂了一句.周烨连忙说:“王玮同学今天上课能发言已经有了很大进步,相信他会继续努力的,张杰你信吗?”张杰自知说话过重,歉意地望了一眼王玮,王玮只好半怒半羞地低下头.李奇说错了平息纠纷后,周烨进入正题:“正如张杰所说,屏幕上是指数函数ｙ=2ｘ的图象.如果我们将此图象关
3、于第一、三象限角的平分线ｙ=ｘ对称过去,会得到什么图象呢?该图象对应的函数表达式是什么?下面请同学们随我一起操作.”周烨边说边领着学生们利用取点、描对称点的操作,得到了ｙ=2ｘ图象关于直线ｙ=ｘ的对称图象.这次学生们没有再发出新奇的叫声.各小组讨论片刻后,李奇连忙站起来说:“图象是ｙ=2ｘ的反函数的图象.”刚说完,李奇即得意地坐了下来.“李奇说得很好,但是李奇还没有告诉我,该图象的函数表达式是什么?你们谁能……”没等周烨问完,刚坐下的李奇又站了起来,激动地说:“我知道,表达式是ｘ=log2ｙ.”另一组的林平立即反驳道:“李奇说错了,ｙ=2ｘ的反函数表达式是ｙ=lo
4、g2ｘ.”说完看了一眼李奇,一贯马虎的李奇觉察到自己的错误,不好意思地摸了摸头.周烨马上严肃地说:“林平纠正得很好,有关如何求函数的反函数表达式问题,书上第74页说得很清楚,我们的讨论前作业里也有,你们应该有定期复习的习惯,是吗?”邓晰指明了一条探索路“下面,我们将继续我们的探索,哪个小组能告诉同学们,函数ｙ=log2ｘ的定义域是什么?道理何在?”周烨进一步设疑.张杰这时站起来肯定地说:“我认为ｙ=log2ｘ的定义域是正实数集,因为ｙ=log2ｘ的图象在ｙ轴右边.”“说得好,那么函数ｙ=log2ｘ的值域是什么呢?”“值域是Ｒ.”下面有学生回答.“道理何在?”见学生
5、沉默不语,周烨进一步按自己设想启发学生:“想一想原函数与反函数的关系,好吗?”不一会儿,邓晰这位一贯做事有条不紊的学生站起来,慢条斯理地说:“因为ｙ=log2ｘ与ｙ=2ｘ互为反函数,它们的自变量与因变量互换,定义域与值域也应互换,而ｙ=2ｘ的定义域为实数集,值域为正实数集,所以ｙ=log2ｘ的定义域为正实数集,值域为实数集.”邓晰的话无疑给全班同学指明了一条路.各小组开始踊跃发言.学生1:“因ｙ=2ｘ的图象过(0,1)点,所以ｙ=log2ｘ通过(1,0)点.”学生2:“因ｙ=2ｘ当ｘ>0时ｙ>1,当ｘ<0时0<ｙ<1,所以ｙ=log2ｘ,当ｘ>1时ｙ>0,当0<ｘ
6、<1时,ｙ<0.”金小毅说出两种数学思想“我们今天探索的课题是指数函数的反函数是什么?如果我们称指数函数的反函数为对数函数,那么它的表达式是什么?性质如何?”周烨进一步引导学生探索主题.学生3:“函数ｙ=aｘ的反函数的表达式是ｙ=logax,它的定义域是正实数集,值域为实数集.”学生4:“因指数函数的图象皆过(0,1)点,所以对数函数的图象皆过(1,0)点.”“对数函数还有哪些性质呢?”周烨见课堂有所平静,又一次发问.过了一会儿,班长金小毅发言:“我们组认为应仿照指数函数的性质讨论,分ａ>1与0<ａ<1两种情况讨论对数函数的性质:ａ>1时与ｙ=log2ｘ性质一样;
7、0<ａ<1时,因指数函数当ｘ>0时0<ｙ<1,当ｘ<0时,ｙ>1,所以对数函数当0<ｘ<1时ｙ>0,当ｘ>1时ｙ<0.”周烨要求学生勤于思考“对数函数还有其他性质吗?想想指数函数的性质.”周烨又一次引导学生思索.下面出现了哗哗地翻书声,不一会儿,李奇抢着说:“我知道,当ａ>1时,指数函数单调递增,所以对数函数也单调递增;当0<ａ<1时,指数函数单调递减,所以对数函数也单调递减.”“李奇说得很好.但是同学们是否思考过,是不是所有反函数与其原函数的单调性皆一致呢?为什么?”见时间不多了,周烨说道:“这个问题留给同学们思考,但同学们以后遇事应多问几个‘为什么’.现在让我
8、们来类比小
