指数函数与对数函数的关系(互为反函数)—教学用

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1、函数函数函数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系纽绅中学问题1：指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,a≠1)有什么关系?称这两个函数互为反函数对应法则互逆y=logaxy=axx=logay指数换对数变换x,y指数函数y=ax(a>0,a≠1)对数函数y=logax(a>0,a≠1)反函数问题2：观察在同一坐标系内函数y=log2x与函数y=2x的图像,分析它们之间的关系.函数y=log2x的图像与函数y=2x的图像关于直线y=x对称(1,0)(0,1)Oxyy=log2xy=2xy=xP(b,a)Q(a,b)函数y=f

2、(x)的图像和它的反函数的图像关于直线y=x对称注意：y＝f－1(x)读作：“f逆x”表示反函数，不是-1次幂（倒数）的意思。反函数1）定义域和值域互换；2）对应法则互逆；3）图像关于直线y=x对称；指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1)互为反函数例1写出下列对数函数的反函数:(1)y=lgx;解(1)对数函数y=lgx,它的底数是它的反函数是指数函数10y=10x函数有三要素：定义域、对应关系、值域(2)对数函数它的底数是它的反函数是指数函数例2写出下列指数函数的反函数:(1)y=5x解(1)指数

3、函数y=5x,它的底数是5,它的反函数是对数函数y=log5x(2)指数函数,它的底数是,它的反函数是对数函数例3求函数ｙ＝3ｘ－2（ｘ∈R）反函数，并在同一直角坐标系中作出函数及其反函数的图象。解：由ｙ＝3ｘ－2（ｘ∈R）得所以ｙ＝2ｘ－1（ｘ∈R）的反函数是（ｘ∈R）ｙ＝3ｘ－2经过两点（0，－2），（2/3，0）经过两点（－2，0），（0，2/3）做一做0xyｙ＝3ｘ－2ｙ＝ｘ想一想：函数ｙ＝3ｘ－2的图象和它的反函数的图象之间有什么关系？求函数反函数的步骤:3求原函数的值域，即反函数的定义域1反解，即解出x，用y表示x2x

4、与y互换，习惯用x表示自变量，y表示函数值4写出反函数及它的定义域b＝f(a)a＝f－1(b)点（b,a）在反函数y＝f－1(x)的图像上点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上(1,0)(0,1)Oxyy=log2xy=2xy=xP(b,a)Q(a,b)结论:[例4]函数f(x)＝loga(x－1)(a＞0且a≠1)的反函数的图象经过点(1,4)，求a的值.解:依题意,得b＝f(a)a＝f－1(b)点（b,a）在反函数y＝f－1(x)的图像上点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上b＝f(a)a＝f－1(b)点（b,a）在反函数y＝f－

5、1(x)的图像上点（a,b）在函数y＝f(x)的图像上理论迁移例4已知函数.（1）求函数f(x)的定义域和值域；（2）求证函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称.小结反函数的概念定义域和值域互换对应法则互逆图像关于直线y=x对称指数函数y=ax(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1)互为反函数