频域中的离散时间信号

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1、1/83连续时间傅里叶(Fourier)变换离散时间Fourier变换离散时间Fourier变换的性质连续时间信号的数字处理第三章频域中的离散时间信号2/83傅立叶1768-1830(Fourier,JeanBaptisteJoseph)法国数学家、物理学家最早使用定积分符号改进符号法则、根数判别方法傅立叶级数创始人1807《热的传播》推导热传导方程中发现解函数可以由三角函数级数构成的级数形式表示1822《热的分析理论》傅立叶级数、分析等理论3/83Fourier分析方法的历史古巴比伦人“三角函数和”描述周期性过程、预测天体运动1748年欧拉振动弦的形状是振荡模的线性组合1753年D·伯努利弦

2、的实际运动可用标准振荡模的线性组合来表示1759年拉格朗日不能用三角级数来表示具有间断点的函数4/831822年傅立叶“热的分析理论”中提出并证明周期函数的正弦级数展开原理，奠定了Fourier级数的理论基础1829年P.L狄里赫利周期信号傅立叶级数表示的若干精确条件19-20世纪两种Fourier分析方法--连续与离散1965年Cooley&Tukey(IBM)发明FFT算法5/83连续时间傅里叶(Fourier)变换离散时间Fourier变换离散时间Fourier变换的性质连续时间信号的数字处理6/83为何指数取‘+’为何指数取‘-’正变换分析(提取)连续时间Fourier变换(CTFT)

3、的定义x(t)X(jΩ)正变换反变换反变换综合(还原)物理意义是什么？7/83引例时域和弦基音CEG频域如何分解出CEG分量？Fourier变换的导出8/83滤波相乘基音C每个频率分量？频域滤波器时域卷积9/83理想冲激函数(δ函数)且无限高度、零宽度、单位面积特性：10/83幅度频率Ω通带变窄滤波器频域频率幅度Ω系统的角度：无穷窄的带通滤波器冲激响应如何提取信号的单个频率分量？系统的角度代表什么？11/83与t无关常数Fourier变换Fourier正变换用的原因12/83正变换分析(提取)连续时间Fourier变换(CTFT)的定义反变换综合(还原)正变换：提取信号的频率分量，需要用卷积

4、计算完成；反变换：将每个频率分量叠加还原出原信号；13/83CTFT通常称为傅里叶谱，或连续时间信号谱。由，称为幅度谱，称为相位谱。CTFT的收敛狄里赫利(Dirichlet)条件a.绝对可积条件b.在任何有限区间内，只有有限个极值点，且极值有限。c.在任何有限区间内，只有有限个间断点，且间断点处两边的值有限。14/83例：1.010解：15/832.0这表明中包括了所有的频率成分，且所有频率分量的幅度、相位都相同。01解：非周期连续时间信号非周期连续频率函数常见信号频谱17/83能量密度谱信号的能量帕斯瓦尔定理Parseval物理意义：信号在时域的总能量等于在频域的总能量由于表示了信号能

5、量在频域的分布，因而称其为“能量密度谱”函数。dΩ]dt18/83低通：高通：到带通：带限连续时间信号频谱的频率范围带宽19/83连续时间傅里叶(Fourier)变换离散时间Fourier变换离散时间Fourier变换的性质连续时间信号的数字处理20/83离散时间傅里叶变换(DTFT)的定义离散时间傅里叶逆变换综合公式分析公式傅立叶变换被称为的频谱离散时间傅里叶变换(DTFT)正变换反变换DTFT频谱的特点：1.模与幅角2.对称关系P67表3.1，表3.2能够降低计算的复杂度证明：26/83举例：通常是复函数，用它的模和相位表示:1.解：幅度谱和相位谱称为幅度谱或幅度函数由称为相位谱或相位函数

6、27/83时，高通特性,摆动指数衰减时，低通特性,单调指数衰减28/832.矩形脉冲:实偶信号实偶函数解：29/833.解：30/83离散傅里叶变换的收敛条件（convergence)分析公式：当是无限长序列时，由于的表达式是无穷项级数，会存在收敛问题。绝对可和例：低通滤波器(p69，例3.8)吉布斯现象平方可和，均方收敛既不绝对可和也不是平方可和的特定序列对偶例：p71，例3.933/83收敛条件有两组：2.则级数以均方误差最小的准则收敛于。1.则存在，且级数一致收敛于。3.通过狄里赫利函数使得傅里叶变换存在。34/83常用信号的变换对35/83连续时间傅里叶(Fourier)变换离散时间F

7、ourier变换离散时间Fourier变换的性质连续时间信号的数字处理36/831.线性(linearity):2.时移与频移(shifting):若则时移特性频移特性若，则37/83证明：m=-n3.时域反转(reflection):若则38/834.共轭对称性(symmetryproperties):若则即a.若是实信号，则39/83c.若是实奇信号，于是有:表明是虚奇函数。d.若则有:b.若