长记忆时间序列模型及应用

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1、长记忆时间序列模型及应用王明进博士北京大学光华管理学院商务统计与经济计量系教授金融风险管理中心主任2010年6月主要内容ARMA模型的回顾；长记忆的概念；长记忆的检验方法；ARFIMA模型；一些应用；1.ARMA模型的回顾时间序列研究的主要任务描述时间序列中的动态（Dynamic）关联性，用于理解其变化的规律或对其进行预测；自相关性（autocorrelation）的刻画ARMA模型的形式ARMA(p,q)模型其中是白噪声ARMA模型的平稳性条件如果，那么ARMA模型定义了唯一的二阶平稳解ARMA模型的可逆性条件如果，那么ARMA模型能够唯一地表达成如下的无穷阶自回归模型的形式ARMA模

2、型的自相关特征任何一个平稳的ARMA模型的自相关函数都是呈指数递减的，即因此自相关函数绝对可和，平稳过程的谱函数谱密度函数是定义在上的偶函数且满足如果自协方差函数绝对可加，ARMA模型的谱密度函数于是ARMA模型的估计条件极大似然估计；极大似然估计；最小二乘估计；单位根过程如果，那么称为单位根过程，此时为非平稳过程。比如如下的I(1)过程：单位根的检验AugmentedDickey-Fuller(ADF)检验(Said&Dickey1981);Phillips-Perron(PP)检验(Phillips&Perron1988)；Perron-Ng(PN)检验(Perron&Ng1996)

3、；Kwitkowski-Phillips-Schmidt-Shin（KPSS）检验(Kwitkowskietal.1992)；上证指数日全距序列（1997.01.03-2010.06.18)取对数之后的全距序列单位根检验的结果RangelnRangeADF-t(10)-8.5557***-7.3599***ADF-t(20)-5.8614***-5.4457***PP-t-30.9954***-27.875***PN-t-5.4938***-5.0333***KPSS3.9385***4.6528***自相关函数图形估计的谱密度函数估计的ARMA模型经过模型选择阶数得到ARMA(1,1)

4、残差的Box-Ljung检验Statp-ValueQ(10)31.45540.0003Q(20)43.57010.0017Q(50)69.48180.0355Q(100)138.10160.00702.长记忆的概念基于自相关函数的定义如果存在常数，使得此时自相关函数不再绝对可和，基于谱函数的定义如果存在常数，使得基于自相关函数和基于谱函数的定义是等价的。短程关联和长程关联*强相合过程（strongmixing）被称为短程关联（shortrangedependency）过程(Rosenblatt1956);不满足强相合性的过程称为长程关联（longrangedependency）过程(Lo

5、1991,Guegan2005)长记忆过程属于这里的长程关联过程。3.长记忆的检验重新标度极差统计量重新标度极差（rescaled-range）统计量其中重新标度极差统计量的性质对于短期关联过程，对于长记忆过程，其中称为Hurst指数R/S分析在对的散点图上，短期记忆过程的点应分布在斜率1/2的直线附件，长记忆过程的点对应的直线斜率大于1/2.根据回归方法得到对Hurst指数的估计。对对数全距序列的R/S分析对应的斜率估计为0.8987，因此d的估计为0.3987R/S分析方法的不足R/S分析方法其实对时间序列当中的短程记忆比较敏感，模拟结果显示，即便对于自回归系数为0.3的AR(1)过

6、程，经R/S方法得到的Hurst指数也有近乎一半的情形超过1/2.（Davies&Harte,1987;Lo1991）修正的R/S统计量修正的R/S统计量的渐近分布对于短期过程其中V是定义在[0,1]上的布朗桥的全距对长记忆性的判断对于长记忆过程因此利用该统计量可以对长记忆过程进行单边的检验。对数全距序列的修正的R/S分析V-statp-Valueq=144.26720.0000Newey-West(1994)6.60490.0000Andrew(1991)3.46530.0000对ARMA(1,1)残差的R/S分析V-statp-Valueq=142.47860.0002Newey-W

7、est(1994)2.16610.0030Andrew(1991)2.20720.00224.ARFIMA模型模型的形式分数次整合ARMA模型或者称之为I(d)过程，记为分数次差分算子其中当时该过程可逆。平稳解的存在性当时，该过程存在着平稳解，能够写成其中平稳解的自相关函数特征对于平稳的情况，自相关函数满足显然自相关函数呈双曲（hyperbolic）律递减（Sowell1992;Chung1994)平稳解谱密度函数的性质所以，记忆参