增加开环零、极点对根轨迹的影响

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1、§4-5增加开环零、极点对根轨迹的影响（一）前言既然根轨迹是系统特征方程的根随着某个参数变动在s平面上移动的轨迹，那么，根轨迹的形状不同，闭环特征根就不同，系统的性能就不一样。工程上，为了改善系统的性能，往往需要对根轨迹进行改造。从前面的分析可知，系统根轨迹的形状、位置完全取决于系统的开环传递函数中的零点和极点。因此，可通过增加开环零、极点的手段来改造根轨迹，从而实现改善系统性能的目的。根据根轨迹的绘制法，增加开环零、极点和偶被子对系统根轨迹的影响总结如下。（二）增加开环零点对根轨迹的影响(1)改变了根轨迹在实轴上的分布。(2)改变了根轨迹渐近线的条数、倾角及截距

2、。(3)若增加的开环零点和某个极点重合或距离很近，构成开环偶极子，则两者相互抵消。因此，可加入一个零点来抵消有损于系统性能的极点。(4)根轨迹曲线将向左偏移，有利于改善系统的动态性能，而且，所加的零点越靠近虚轴，影响越大。由绘制根轨迹的法则，增加一个开环零点，对系统的根轨迹有以下影响：（三）增加开环极点对根轨迹的影响(1)改变了根轨迹在实轴上的分布。(2)改变了根轨迹渐近线的条数、倾角和截距。(3)改变了根轨迹的分支数。(4)根轨迹曲线向右偏移，不利于改善系统的动态性能。所增加的极点越靠近虚轴，这种影响就越大。由绘制根轨迹的法则，增加一个开环极点，对系统的根轨迹有

3、以下影响：（三）增加开环耦极子对根轨迹的影响(1)开环偶极子对离它们较远的根轨迹形状及根轨迹增益Kg没有影响，因为从偶极子至根轨迹远处某点的向量基本相等，它们在幅值条件及相角条件中可以相互抵消。(2)若开环偶极子位于s平面原点附近，则由于一般选取（配置）的闭环主导极点离坐标原点较远，它们对系统主导极点的位置及增益Kg均无影响。但是，开环偶极子将显著地影响系统的稳态误差系数，从而在很大程度上影响系统的静态性能。其原因如下：开环偶极子是指一对距离很近的开环零、极点，它们之间的距离比它们的模值小一个数量级左右。为系统增加一对开环偶极子，其效应有：其中，K为开环放大系数，

4、Kg为根轨迹增益。由K与系统误差系数Kp,Kv,Ka的关系，系统的稳态误差取决于K的大小。现增加一极点比零点更靠近虚轴的偶极子-zc,-pc，且zc>pc>0。（三）增加开环耦极子对根轨迹的影响其中，Kc>1。上式表明，加入偶极子后，系统的开环放大系数提高了Kc倍，显然对提高静态性能大有好处。【例1】已知某系统的开环传递函数为若给此系统增加一个开环极点-p=-2，或增如一个开环零点-z=-2；分别讨论对系统根轨迹和动态性能的影响。解：开环传递函数，原系统Gk(s)，增加极点的系统Gp(s)，增加零点的系统Gz(s)：分别绘制各系统的根轨迹得：（三）增加开环耦极子对

5、根轨迹的影响可见，增加极点后根轨迹及其分离点都向右偏移；增加零点后使根轨迹及其分离点都向左偏移。原来的二阶系统，Kg从0变到无穷大时，系统总是稳定的。增加一个开环极点后，当Kg增大到一定程度时，有两条根轨迹跨过虚轴进入s平面右半部，系统变为不稳定。当轨迹仍在s平面左侧时，随着Kg的增大，阻尼角增加，ξ变小，振荡程度如剧，特征根进一步接近虚轴，衰减振荡过程变得很缓慢。总而言之，增加开环极点对系统动态性能是不利的。（三）增加开环耦极子对根轨迹的影响在工程设计中，常采用增加零点的方法对系统进行校正。增加开环零点的效应恰恰相反，当Kg从0变至无穷大时．根轨迹始终都在s左半

6、平面，系统总是稳定的。随着Kg的增大，闭环极点由两个负实数变为共颇复数，以后再变为实数，相对稳定性比原系统更好；阻尼角变小，ξ更大。因此系统的超调量变小，调节时间变短，动态性能有明显的提高。【例2】单位反馈系统的开环传递函数为试用根轨迹法讨论增加开环零点对系统稳定性的影响。解：此系统有3个开环极点：-p1=-p2=0，-p3=-10，无开环零点。按根轨迹绘制法则得出的根轨迹草图如下。其中有两条报轨迹分支始终位于‘平面右半部，这说明无论K8取何值，系统均不稳定。这种系统属结构性不稳定系统。（三）增加开环耦极子对根轨迹的影响其中有两条根轨迹分支始终位于s平面右半部，这

7、说明无论Kg取何值，系统均不稳定。这种系统属结构性不稳定系统。若在系统中增加一个负实数的开环零点，使系统的开环传递函数变为：设-zc在-10到0之间，增如零点后的系统根轨迹如图b所示。当Kg由0变至无穷时，3条根轨迹全部落在s平面左半部，系统总是稳定的。由于闭环特征根是共扼复数，故阶跃响应呈衰减振荡形式。（三）增加开环耦极子对根轨迹的影响若增加的开环零点-zc<-10，系统的根轨迹如图c所示。根轨迹虽然向左弯了一些，但仍有2条根轨迹始终在s平面的右半部，系统仍无法稳定。因此，引入附加开环零点的数值要适当，才能比较显著地改善系统的性能。