开普勒方程的推导及其意义_石教兴

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1、2005年6月郧阳师范高等专科学校学报Jun.2005第25卷第3期JournalofYunyangTeachersCollegeVol.25No.3yy开普勒方程的推导及其意义石教兴(郧阳师范高等专科学校物理与电子工程系,湖北丹江口442700)[摘要]为了深刻理解开普勒方程,介绍了三种推导该方程的方法,并借助外辅圆来说明方程中偏近点角的几何意义.其物理意义,开普勒方程是关于行星运动微分方程组的一个积分,由于引入了辅助量E,使数学表达式大为简化.[关键词]开普勒方程;几何意义;物理意义[中图分类号]O31[文

2、献标识码]A[文章编号]1008)6072(2005)03)0035)04[1]开普勒(JohannesKepler,1571-1630),德1几何意义国天文学家,哥白尼学说的忠实追随者,第谷的得意门生和继承人,在仔细分析第谷的观测资料的基要讨论方程(1)的几何意义,主要是讨论E础上,经过数十年的观测,繁琐的计算以及无数次这个量的几何意义.的失败,发现了著名的关于行星运动的开普勒三定我们知道,研究行星(彗星、流星体等)在太阳律,从而引起了天文学的全部革新,不仅为经典天引力作用下的运动时,如果把太阳当作惯性系中一

3、文学奠定了基石,并导致了数十年后牛顿万有引个固定不动的力心,并且忽略其它天体对所考察行力的发现,而且还创立了天体运行的开普勒方程.星的影响,则其轨道的平面极坐标方程式为在行星绕太阳的椭圆轨道运动中,如令a-rPr=(4)1+ecosH2P=aecosE,Qdt=T,试推导出方程S(4)式为原点(力心)位于焦点上的二次圆锥[2]T=E-esinE(1)曲线,P为半通弦.根据开普勒定律,行星的运动式中e为椭圆的偏心率,r为力心到行星的矢径之轨道为椭圆,故偏心率e<1,H则为行星矢径与近长,a为椭圆轨道的半长轴,S为

4、行星的公转周期,日点方向的交角,称为真近点角(见图1).t0为行星过近日点的时刻,E和T分别由下面两式定义:a-rcosE=(2)ae2PT=(t-t0)(3)S(1)式就是著名的开普勒方程.按要求推导出该方程并不十分困难,但对于它的几何意义和图1外辅圆物理意义却不易领会.下面我们首先讨论它的几令椭圆的半长轴为a,半短轴为b,椭圆中心何意义,并借助于关于行星运动的开普勒定律给O1到焦点O的距离为c,由图1可知,当H为0或出两种推导,再由能量方程出发推导,最后再对其P时,r分别为极小值或极大值.物理意义进行讨论.

5、y[收稿日期]2005-03-18y[作者简介]石教兴(1947-),男,湖北郧县人,郧阳师范高等专科学校物理系副教授,主要从事工程制图、理论力学教学研究和高等教育研究.YYSZXB35石教兴:开普勒方程的推导及其意义PP方法1根据开普勒第二定律,行星的矢径扫过rmin=a-c=rmax=a+c=1+e1-e的面积速度为一恒量,即由上两式可解得Pab$A=(14)PS$ta=2(5)1-e这里的Pab是整个椭圆的面积,S为行星的公转周c=ae(6)期,$A为行星在$t时间内所扫过的面积.在本质又根据椭圆的性质,

6、知上,开普勒第二定律反映了行星在有心力作用下222b=a-c=a1-e(7)动量矩守恒.若以力心为原点,并取x轴的正方向与近日点方向一致,则该椭圆轨道方程又可表示为平面直角坐标系的形式22(x+ae)y2+2=1(8)ab以O1为圆心,作椭圆的外切圆(天文学上称图2单位时间内矢径所扫过的面积为外辅圆).设行星在某一时刻处于位置P,由P点作椭圆长轴的垂线,垂足为R,延长RP交外辅由图2可以看出,对应于行星的公转过dH角,圆于Q,记NOO1Q为E,由图1不难看出矢径所扫过的面积为cosE=x+ae(9)12adA=

7、rdH(15)2(9)式的右端在数值上正好等于(8)式等号取t=t0时,H=0.从(14)式可得左端第一项的平方根.由(8)、(9)两式可知Pab1H2(t-t0)=rdH(16)2S2Q0sinE=1-cosE2将(4)式代入(16)式,得x+aey=1-=(10)2HabPab(t-tPdH0)=2(17)S2Q0(1+ecosH)(9)、(10)两式可改写为比较(4)式和(13)式,可以看出x=a(cosE-e)(11)P2=a(1-ecosE)(18)及y=bsinE=a1-esinE(12)1+eco

8、sH将(11)、(12)两式平方后相加,得将(18)式两端微分,则有22222r=x+y=a(1-ecosE)PsinHdH2=asinEdE,或即r=a(1-ecosE)(13)(1+ecosH)dHasinE或cosE=a-r(13ˊ)2=dE(19)ae(1+ecosH)PsinH比较(13c)和(2)式可以看出,E即图1中的又由图1可以看出NOO1Q,称为偏近点角,它是行星在外