一道数学趣题的联想——例谈巧构图形图像解代数题

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1、垃⋯昭万方数据f泣‰窿一道数学趣题的联想●浙江省宁波市北仑区顾国和中学张良江“数形结合”是一种重要的数学思想方法．在初中数学中．存在着大量与图形有关的问题难以用几何方法解决，而用代数方法却能轻松化解．同样，又不乏用图形等几何方法解决代数问题的经典范例．本文试从一道数学趣题说开去，谈谈如何巧构图形使代数问题几何化，即用构造图形(图像)的方法解决代数问题，以期窥一斑而见全豹柳卡趣题19世纪法国数学家柳卡在一次国际数学会议上提出了一道有趣的题目，它难倒了在场的所有数学家，连柳卡本人也没有彻底解决这道有趣的题目一般称作“柳卡趣题”

2、，原题是这样的：每天中午，某航运公司有一艘轮船从巴黎的外港——塞纳河口的勒阿佛尔开往纽约．在每天的同一时间也有该公司的一艘轮船从纽约开往勒阿佛尔．轮船在横渡大西洋途中所花时间正好是七天七夜，并且假设在全部航程中轮船都是匀速行驶的，轮船在大西洋上按照一定航线航行，在近距离内彼此可以看得到．那么，当今天中午从勒阿佛尔开出去的船A到达纽约时。将会遇到多少艘同一公司的轮船从对面开来?解析：以时间￡(天)为自变量，以轮船与勒阿佛尔港间的距离s为因变量，显然，船A及从纽约出发的各船的s均是t的一次函数在同一直角坐标系内分别作出它们的图

3、像(如图1所示)，其中^为HA相应的函数图像，m：为比船A早5天从纽约出发的船相应的函数图象2】与m，交于只【￡Ⅲ，)，表示船A与从纽约同时出发的船在￡．天后相遇．图中与2．相交的共有15条线，故该船将遇到同一公司的15艘船．j阏溅，l图1从图中可以看出，有1艘是在出发时遇到(从纽约港到达勒阿佛尔)，I艘是到达纽约时遇到(刚好从纽约开出)，剩下的13艘ll—一十。7j受-?初中版则在海上相遇．这是一道典型的构造函数图像解决代数问题的实例，体现了数形结合思想的精髓．本题为构造图形(图像)解决代数问题提供了方向．1．巧构函数图

4、像1构造一次函数图像．迁移“柳卡趣题”例1长途汽车在甲、乙两座城市之间往返行驶，每辆汽车需要经过4小时到达对方城市．从上午6时开始，每隔l小时，从甲、乙两座城市同时发出一辆长途汽车．最后一班车在下午4时发出，那么从甲城发车的司机在途中最多能看到几辆迎面驶来的从乙城发出的同一线路的车?解析：根据题意，画图，用竖线表示甲城到乙城的路，用横线表示发车时间，用斜线表示汽车在途中的任何时刻的行驶位置，两条斜线的相交点就是与对方车站发出的车的相遇点．因此，要求从甲城发车的司机在途中最多能看到几辆迎面驶来的从乙城发出的同一线路的车，画出

5、一天全部车辆的运行图(如图2)．甲城78910111213141516171819207891011121314151617181920间图2从图2可以求出，从甲城开出的一辆车在途中最多能看到7辆迎面驶来的从乙城发出的同一线路的车(有7个相遇点)，最少也能在途中看到4辆(有4个相遇点)评注：通过构造一次函敷图像。把一个数量关系极其复杂的代数问题直观、形象地呈现出来通过观察就可以对问题作出回答足以说明，构造图形(图像)在解决某些代数问题时具有不可替代的作用1．2构造反比例函数圈像．巧证不等式例2已知hER+,证明不等式音+：

6、i’ij-F万方数据2012年3月解题策略解析：由上联想到反比例n函数y：上，如图3，画出函数y：石土(x>o)的图像．在礴由上取两点ZA(凡，0)、B(n+2，0)，过A、曰分另0作戈轴的垂线交图像于A’、日’，则AA’=一1，BB’=—与．连接A曰得梯形A船’A’．再取线段AB的中点C凡n十二(n+1，0)，作z轴的垂线段CC’，交A’B’于点C’，交曲线于点D，则cc’是梯NABB’A，的中位线．N；Icc’12(AA’+BB7)=土2(÷+ili)，且Dc=击．由于y=÷在(o，+*)上是凹的，所以ccⅦc卿丢(÷

7、+上n+2)>上n+1．所以丢+丽1>鬲2．本题如用代数的“比差法”或“比商法”证明也比较简单，以“比差法”的思路展现如下：÷+击一丽2=厕2向∈脚，得赢>o，n。眦肿ln(肿1)(帕)⋯⋯⋯⋯凡(叶1)(觎)⋯可得土+上>三．评注：本例虽然用代数：b-法也很简单，但是构造反比例函数图像，进而与梯形的相关知识联系起来，省却了通分化简等繁琐计算过程．给人以耳目一新的感觉．1．3构造二次函数图像。巧求参数值(或范围)例3已知函数产{：：：：主：：：三j：’则使y=后成立的戈值恰好有三个，则％的值为()．A0B1C．2D．3彬：

8、⋯获⋯}务OⅫ么．．生掣6“-1图4解析：在同一坐标系中分别画出二次函数，，，=(茗一1)2_1(石≤3)和y2=(茹一5)2_1(省>3)的图像(如图4)，抛物线Y。和y2的交点Q在直线省=3上(其中y2与直线x=3的交点为空心点)．点Q坐标为(3，3)．过点Q作戈的平行线分别和y。和y：相交于点P、