第五章测地曲率和测地线§51测地曲率和测地挠率

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1、第五章测地曲率和测地线§5.1测地曲率和测地挠率1、证明：旋转面上纬线的测地曲率是常数，它的倒数等于在经线的切线上从切点到它与旋转轴的交点之间的线段之长。2、证明：在球面r=(acosucosv,acosusinv,asinu)pp(-≤u≤，0≤v＜2π)上，曲线的测地曲率可以表成22dqdvk=-sinu，gdsds其中θ是曲线与经线(即u-曲线)之间的夹角。3、证明：在曲面的一般参数(u，v)下，曲线u＝u(s)，v＝v(s)的测地曲率是kg=g(Bu-Av&+u&&v&-v&u&&)2其中g＝EG

2、－F，1211222222A=G11(u&)+2G12u&v&+G22(v&),B=G11(u&)+2G12u&v&+G22(v&)，特别是，参数曲线的测地曲率分别为2313kgg=gG11()uk&&,=-Ggv22().124、假定φ是曲面S上的保长变换构成的变换群，并且保持曲面S上的一条曲线C不变。证明：如果φ限制在C上的作用是传递的，则曲线C的测地曲率必为常数。5、设e1，e2是曲面在一点的两个彼此正交的主方向，对应的主曲率分别为k1，k2。证明：曲面在该点与e1成θ角的切方向的测地挠率是11dk

3、n(q)t=(k-k)sin2q=.g2122dq6、假定曲面上经过一个双曲点的两条渐近曲线在该点的曲率不为零。证明：这两条曲线在该点的挠率的绝对值相等、符号相反，并且这两个挠率之积等于曲面在该点的Gauss曲率K(提示：利用定理4和习题5的结果)。227、证明：kn-tg-2Hkn+k=0。8、证明：任何两个正交方向的测地挠率之和为零。§5.2测地线1、证明：柱面上的测地线必定是定倾曲线。2、设曲线C是旋转面r(u,v)=(f(u)cosv,f(u)sinv,g(u))上的一条测地线，用q表示曲线C与经

4、线的交角。证明：沿测地线C成立恒等式－15－f(u)×sinq=常数.oo3、设在旋转面上存在一条测地线C与经线交成定角q，并且q¹0,90。证明：此旋转面必为圆柱面。4、证明：(1)若曲面上一条曲线既是测地线，又是渐近曲线，则它必定是直线。(2)若曲面上一条曲线既是测地线，又是曲率线，则它必定是平面曲线。(3)若曲面上一条测地线是非直线的平面曲线，则它必定是曲率线。5、证明：若曲面上所有的测地线都是平面曲线，则该曲面必是全脐点曲面。6、已知曲面的第一基本形式如下，求曲面上的测地线：22(1)I=v(du

5、+dv)；2a22(2)I=(du+dv)。2v7、证明：若在曲面上存在两族测地线，它们彼此交成定角，则该曲面必是可展曲面。8、证明：曲面上的测地线的挠率恰是曲面沿曲线的切方向的测地挠率。9、假定曲面S1和S2沿曲线C相切，证明：若C是S1上的测地线，则C也必定是S2上的测地线。如果C是S1上的曲率线或渐近曲线，又如何？§5.3测地坐标系22Ga1、设曲面的第一基本形式为I=du+G(u,v)dv，求bg及Gauss曲率K。222、设曲面的第一基本形式为I=du+G(u,v)dv，并且G(u,v)满足条件

6、G(0,v)=1，Gu(0,v)=0。22证明：G(u,v)=1－uK(0,v)+0(u)。3、设曲面上以点P为中心，以r为半径的测地圆的周长为Lr，所围的面积是Ar，证明：点P处的Gauss曲率是32pr-LrK0=lim×3r®0pr212pr-Ar=lim×p4r®0r§5.4常曲率曲面1、试在测地极坐标系下写出常曲率曲面的第一基本形式。2、证明：在常曲率曲面上，以点P为中心的测地圆具有常测地曲率。3、已知常曲率曲面的第一基本形式是ì2122du+>sin(Ku)dvK,0,ïïKI=íïdu2-1

7、sh22(-

8、应。24y16、第一基本形式如下的曲面都具有常数Gauss曲率-。试求它们之间的保长对应：2a2a22(1)I=(du+dv)(v＞0)2v2u2a2(2)I=du+edv；22u2(3)I=du+chdv。a§5.5曲面上向量场的平行移动aaa12¶xay1、证明：若x=x(u,u)是偏微分方程组=-Gbgx的非零解，则(i)b¶uf=gxaxba1212ab是非零常数；(ii)X=x(u,u)×ra(u,u)是曲面上的切向