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1、52数学通报2007年第46卷第9期高中数学课程中的《球面几何》(续)张劲松刘长明(人民教育出版社中学数学室100081)42球面三角形的周长OBA+OBC+OCB+OCA+OAC)<这是一个很有趣的问2.题.由于球面三角形的每条所以,三面角O-ABC三个面角的和小于2.边长都是大圆的劣弧,都小因此,球面ABC的周长小于大圆周长.于大圆周长的一半,因此,43球面三角形的内角和3我们知道,平面三球面三角形的周长小于2角形的一个非常重要个大圆周长,不能任意长.实际上,球面三角形的周的性质是内角和等于长可以更小,其周长小于大圆周长..球
2、面三角形的内角和这个结论很重要,我们给出它的证明.是否也是一个定值呢:?证明如图10,设球面ABC的三条边分别如图11,通过两条为a,b,c,球心为O,连结OA,OB,OC,那么O-ABC经线与赤道构成的球是一个三面角.面ABC的研究,我们在三面角O-ABC中,连结AB,BC,AC.由于知道,它的三个内角的球面三角形的边长与三面角的面角之间的对应关和系,我们把球面三角形的边长问题转化为三面角的<ABC+ACB+BAC=+BAC面角问题.<2,其中BAC是两条经线所成的球面角.因为AOB=-(OAB+OBA),当两条经线变化时,BAC也是变化的.
3、在构BOC=-(OBC+OCB),成球面三角形的范围内,BAC的最大值不超过.COA=-(OAC+OCA),这说明球面上存在一个三角形,它的内角和大所以AOB+BOC+COA=3-于.是不是球面上任意三角形的内角和都大于(OAB+OBA+OBC+OCB+OCA+呢?OAC).为了说明这个结论,我们先用下面这个定理:因为三面角中的任意两个面角之和大于第三如果两个球面三角形的三对角对应相等,那么这两个面角,个球面三角形全等(后面我们会给出严格的证明).所以OAB+OAC>CAB,由上面的结论,我们知道,对于任意球面OBA+OB
4、C>ABC,OCB+OCA>BCAABC,它的三个内角确定后,其边长也唯一确定.又因为CAB+ABC+BCA=,这时,球面ABC唯一确定,因而其面积是唯一的,所以而且球面ABC的面积大于0.显然,球面ABCOAB+OBA+OBC+OCB+OCA+的面积由其三个内角唯一确定,这种关系到底是什OAC>CAB+ABC+BCA=,么呢?所以我们看一个简单的例子.AOB+BOC+COA=3-(OAB+如图12,设点A表示地球的北极,LA为赤道,点2007年第46卷第9期数学通报53B,C是赤道LA上的两点,且点B所在的经线是
5、0,积=A+B+C-.点C所在的经线是90.上述结论说明,球面三角形的内角和大于.因为地球上的经线和纬线都是大圆,且经线所这个结论非常重要,我们给出它的证明.在的平面与赤道所在的平面垂直,所以球面角分析如图13,直接求球面ABCBAC=.2的面积不容易,但是又由极与赤道的定义可知,球面角ABC=求月形(球面二角,ACB=,因此球面ABC的三个内角的和形)的面积容易,月22形ABAC的面积等3ABC+ACB+BAC=2>.于球面面积的倍,2这说明球面上存在一个三角形,它的内角和大其中球面角BAC于.=,A,A互为对径从球面三角形
6、的面积角度看,显然,球面点,而且月形ABAC可以看作由球面ABC和球11ABC的面积等于上半球面面积,或说等于48面ABC拼接在一起.因此,我们考虑把求球面球面面积.如果球的半径为r,那么ABC的面积转化为求某些月形的面积.球面ABC的面积证明如图13,因为月形的两个顶点互为对121232径点,设A,B,C三点的对径点分别为A,B,C,我4r=r=-r.822们分别观察以A,B,C为顶点的三个月形:2=(ABC+ACB+BAC-)r.以A为顶点的月形ABAC:它可以看作由球面如果我们再在赤道上取一点D,点D所在的经ABC和球面A
7、BC拼接在一起;线是东经120,这时球面ABD的面积是多少?以B为顶点的月形BCBA:它可以看作由球面如图12,容易知BCA和球面BCA拼接在一起;道,球面角ABD=以C为顶点的月形CACB:它可以看作由球面,ADB=,CAB和球面CAB拼接在一起.22设球面ABC的三个内角A,B,C分别2BAD=,因此为A,B,C(弧度).下面求月形ABAC的面积.3我们知道,月形ABAC的面积等于整个球面面球面ABD的三个内角的和积的A倍,即2ABD+ADBA22
