神奇而伟大的数学归纳法

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1、22数学通讯—2014年第2期(下半月)·教学参考·神奇而伟大的数学归纳法杨春波程汉波(河南省郑州外国语学校，450000)(广东省广州市第二中学高中部，510030)数学归纳法是证明序列命题的常用方法．设n设只有n个素数矛盾;若N+1不是素数，则N+1是整数，P(n)是与n相关的命题，A是自然数集的必能被P1，P2，…，Pn中的某一个整除，但N+1被一个子集，要证明n∈A，命题P(n)成立，这时可P1，P2，…，Pn中任一个素数除都余1，矛盾．这可能考虑用数学归纳法．我们常用的第一数学归纳法的

2、是到目前为止，利用有限解决无限最早的经典案例．步骤如下:近代最先试图用递归方法证明数学命题的人是(1)验证P(1)为真;意大利数学家F·毛罗利科，他提出了递归方法的(2)假设P(k)(k≥1)为真，证明P(k+1)为思路，并用这一方法得出若干结果(如从1开始的2真．连续n个奇数的总和是n)，但他仅仅指出了这种若(1)、(2)都成立，则命题P(n)对所有的自然方法的必要性，而并未作出清晰的表述．最先明确而数n都成立．清晰地阐述并使用了数学归纳法的是法国数学家帕数学归纳法通过有限归纳无限，实现了从量变

3、斯卡，他用数学归纳法证明了“帕斯卡三角”(中国到质变的飞跃，不得不令人称奇．笔者曾无数次慨叹称为“贾宪三角”)等命题．此后又经历了数百年，凝数学归纳法的神奇与伟大:利用一个简单的递推就结了几代数学家的智慧和汗水，数学归纳法才发展可穷尽无穷?怎么就在可数次的步骤内完成了无数为今天如此完善的地步，数学归纳法的每一个变式次的验证?何以用有限的时间做了无限量的事情?都饱含了数学家们无限的想象力和创造力．需要说笔者也曾发问:这么奇妙的方法是谁想到的呢?是明的是，数学归纳法其实是一种“递归推理”，而不如何想到

4、的?其理论依据又是什么?下面为读者一是“归纳法”，但却因英国数学家德摩根的误用而一释之．“张冠李戴”，这为数学归纳法平添了一份趣味．1数学归纳法的悠久历史2数学归纳法的基本原理从递归的萌芽、数学归纳法的运用，再到数学归数学归纳法以皮亚诺的归纳公理为数学基础．纳法的命名、繁衍与发展，都倾注了众多数学家的精归纳公理自然数的某个集合若含1，而且如力，积累了人类无限的智慧，折射出数学归纳法悠久果含一个自然数a就一定含其后继a'，那么这个集的历史，璀璨的文化．合含全体自然数．最先在数学中采用递归思想的要算古

5、希腊数学下面我们借助归纳公理来给出第一数学归纳法家欧几里得，他在证明命题“素数有无穷多个”时的的逻辑依据:设M是使P(n)成立的自然数的集合．思路是这样的:若有n个素数，则必有n+1个素数．由于P(1)为真，可知1∈M;又由P(k)为真可推出欧几里得反设P1，P2，…，Pn是所有的有限个素P(k+1)为真，所以如果k∈M，其后继k'=k+1也数，令N=P1P2…Pn，则对数N+1分情况讨论:若N属于M．于是由归纳公理知M=N(全体自然数所成+1是素数，但N+1大于P1，P2，…，Pn中的任一的集合

6、)，因此，对任意的自然数n，P(n)都成立．个，则N+1是异于P1，P2，…，Pn的新素数，这与假皮亚诺的公理系统直接保证了数学归纳法的合·教学参考·数学通讯—2014年第2期(下半月)23理性，所以，也可以把数学归纳法当做公理来看待．“跳跃归纳法”给出另证，由此可见，数学归纳法的数学命题的归纳式证法建立在“潜无限”的观念基多种变式应根据我们的需要灵活使用．础上，证明的实际过程看起来是一个有限的过程，但证明1(第二数学归纳法)当n=1时，由2是在逻辑上能够保证命题对“一切自然数”都正确．(Ⅰ)知c

7、osA是有理数，cos2A=2cosA－1是有理值得一提的是，可以证明皮亚诺的归纳公理和常说数．假设当n≤k(k≥2)时，coskA是有理数，则当n的“最小数原理”等价，所以，人们也常说数学归纳=k+1时，有cos(k+1)A=cos［(k－1)A+2A］法的基础是“最小数原理”．3数学归纳法的多种变式=cos(k－1)Acos2A－sin(k－1)Asin2A=cos(k－1)Acos2A－2sin(k－1)AsinAcosA数学归纳法有多种表现形式，中学数学中常用=cos(k－1)Acos2A

8、－cosA［cos(k－2)A－coskA］的第一数学归纳法与第二数学归纳法是它的两种重由归纳假设知，上式中每一项均为有理数，所以要表现形式，其他形式的数学归纳法还有跳跃归纳cos(k+1)A也为有理数．所以，对任意正整数n，法、倒退归纳法、跷跷板归纳法等．下面对归纳法的cosnA都是有理数．常见的几种表现形式作一介绍．证明2(跳跃归纳法)当n=1时，由(Ⅰ)知第二数学归纳法设P(n)是关于正整数n的2cosA是有理数．当n=2时，因cos2A=2cosA－1，故命题，若P(1)成