创建名牌课程项目总结～～

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1、1999─2000创建名牌课程项目总结(一)完成的工作(1)简明数学分析教学大纲；(2)论文三篇:[1]王昆扬,关于Riemann积分理论的本质缺陷及以Lebesgue积分取代之的看法,数学教育学报,8(1999)No.3,95---98,[2]王昆扬,怎样讲实数理论,高等数学研究,专集,1999,1—5,[3]郇中丹,对师范大学本科数学专业《数学分析》课程改革的几点意见,数学教育学报,2000年第二期.(3)按上述数学分析教学大纲用《简明数学分析》为北京师范大学数学系99级1班学生讲授数学分析课

2、，已完成一届，共3个学期.(4)指导访问学者一名(二)该名牌课程的创新之处江泽民主席在第三次全国教育工作会议上的讲话（l999年6月15日）谈及人才成长规律时说过：“学得好的影响和带动学得不太好的，水平高的影响和带动水平比较低的，这样就可以促进共同进步与提高.必须坚决克服用‘一个模子’来培养人才的倾向”.该名牌课程,立意贯彻因材施教的方针,着眼于培养高素质的基础数学人才，大胆创新,在许多方面打破了传统，或者说有明显特色.一年多来的实践,初见成效.下面简单地说一说在哪些方面打破了传统，有什么道理.(

3、1)本课程十分注意知识的系统性、严格性和学生认识的连贯性.对于刚上大学的学生,在第一章中就严格地讲授实数的定义.这是因为学生们早已在初中二年级就已经知道“无限不循环小数是无理数”,“有理数和无理数统称为实数”.要讲清“无限不循环小数是无理数”及“无限循环小数是有理数”,必须引入极限的概念.我们分析了以往大多数数学分析课本对于实数概念的讲法.感到常用的Dedekind方法,即使是对于高年级学生,也是费解的.而且这种分割的方法,要用到有理数之间有大小关系这一特殊性质,不能推广应用于一般距离空间的完备化

4、.我们承袭学生从初中就已接受的认识,着力用极限的观点把这个概念讲解清楚.即使部分学生一时理解不透，以后在学泛函分析，遇到距离空间的完备化的时候，认识也必有一大提高.这可以说是这门课的第一个“打破常规”的地方.（2）实数讲清楚了，往下逻辑上很顺畅.我们没有等到后面单独讲授级数理论的时候才遇到∑.事实上，学生们在中学早就知道等差级数和等比级数了.讲完数列的极限，级数的概念就自然出来了.这样，第二个打破常规之处就是用级数的方式定义指数函数,给学生们讲清楚所定一的函数这就是他们在中学就知道的指数函数.学生

5、们早就熟悉这个函数的各种性质了.但是,不使用极限概念,就不可能真正理解这个函数.以往害怕一开始就严格引入指数函数的定义,就象害怕引入实数定义一样,结果是不得不做许多繁琐的不严格的描述,实在是事倍功半.仔细想一想,如此定义指数函数,与我们在复变函数论中所用的办法是一样的.这样做，往下的论述非常简单明了.总页码751(3)把单变量和多变量一块儿讲.目的有二.其一，强化学生对于多变量函数的认识.现代科学技术的发展对于多变量函数的理论的需求越来越高.针对以往对于多变量理论的讲述不够充分及把单变量和多变量分

6、开讲的负面效果,尝试把单变量理论与多变量理论统一起来讲是有益的.何况大学生们在中学阶段的学习中已经与一元初等函数打了6年的交道，有了接受多变元函数概念的基础.这是主要目的.其二，节约了大量篇幅.当然，在讲多元函数的导数时，一方面要把一元函数作为特例同时也是最基本的情况讲透彻，同时又要强调多元与一元确有本质上不同的地方，不可一概把多元情形看成是一元情形的简单推广.接着，要花些力气把多维空间之间的变换，特别是可导变换的概念讲清楚，这将是多元积分变量替换的理论基础.也是偏微分方程论等课程中不可少的基础知

7、识.(4)用Lebesgue积分取代Riemann积分.数学分析包括微分学和积分学两部分.现有教材在积分学部分都以Riemann积分理论为内容.Riemann积分是19世纪的理论,是有缺陷的理论.20世纪创立的Lebesgue积分理论克服了Riemann积分的缺陷,是完备的理论.关于用Lebesgue积分取代Riemann积分的必要性,本人在论文[1]中作了专门的论述.本人认为Riemann积分的本质缺陷是不承认σ-可加性,而这恰是Lebesgue积分论的出发点.本人赞成J.Dieudonne的下

8、述观点(J.迪厄多内,《现代分析基础》第一卷,科学出版社,1982,159页):“…这里明显地没有微积分教程中一个古老的题目.即‘黎曼积分'.人们大概会感觉到:如果不是它的有权威的名字,它老早就该没落下去了,因为对于任何一位从事研究工作的数学家来说(带着对黎曼天才的应有尊敬),十分清楚,现今这一‘理论'的重要性在测度与积分的一般理论中,最多不过是一普通的有趣的练习(参看13.9问题7).只有那种学究传统的顽固保守主义才会把它冻结成课程的正规部分,长时间以后必将失去它的历史重要性.”