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1、LectureNotes262004/11/18信号空间及M元信号的表示本讲提要1。回顾过去学过的向量空间的概念2。将这个概念平推到信号空间3。意图指出：任意M元信号设计无非是在N维空间W中摆了M个点。4。白高斯噪声是无限维的，它在各维上的投影是独立同分布的高斯随机N0变量，方差是2rt()5。观察到的信号在W上的投影是充分统计量，即接收机不用理会W之外的东西。一向量空间vv,ÎWvv+ÎW1．W是一些列（或行）向量的集合，满足加法封闭性（若12，则12），数乘封闭性（若aRÎ，vÎW，则avÎW）。Tagb=ab=ÎåaiibR2．内积：i。内积也称为投影。T2aaa=3．向
2、量的长度平方是22ab-=-å(abii)4．欧氏距离：i5．若两个向量的内积为0，则称两个向量正交或者垂直。v,vv,,L6．线性不相关：一组向量12n，任何一个都不可能是另外一些的线性组合。e,ee,,L7．设12n是W中的任意n个线性不相关的向量，若W中的所有向量都是这n个e,ee,,Le,ee,,L向量的线性组合，所有12n的线性组合都在W中，则称W是由12n张成e,ee,,L的，称W是n维空间。称12n是W的基。例：向量(0,0,1)和(1,1,0)张成一个二维空间，它是一个平面。8．如果向量v在e12,ee,,Ln张成的空间之外，则称e12,ee,,Ln对于v来说是
3、不完备（谓e12,ee,,Ln不足以组合出v）e,ee,,L9．若有基12n，其中的每一个的长度为1，且两两正交，则称其为归一化正交基。10．N维空间中的任何一个向量也可以说成是该空间中的一个点。二信号空间1．W是一些实信号（也可以扩展到复信号）的集合，对加法封闭（u(t),vt()ÎW，则u(t)+vt()ÎW），对数乘封闭（若aRÎ，aut()ÎW）例：W={Acos(2pfct+q)
4、ARÎÎ,qp[0,2]}（所有频率为fc的正弦信号）¥òs12()ts()tdt2．内积：-¥信号的能量就是自己和自己的内积。1/5LectureNotes262004/11/18¥òs1
5、2()ts()tdt=03．若-¥称这两个信号正交。4．若{v1(t),v22(t),,Lvt()}是n个信号，如果每一个都不是其它信号的线性组合，则称它们线性不相关。ìüæöpíýcos2pft,cos3ppft,cos2ç÷ft+ccc例如：îþèø4这三个信号中的任何一个都不能表示成另ìüæöpíýcos2pft,sin2ppft,cos2ç÷ft+ccc外两个的线性组合，它们是线性不相关的，但îþèø4是线性相关的。5．若W中的所有信号都是{v12(t),v(t),,Lvtn()}的线性组合，{v12(t),v(t),,Lvtn()}的所有线性组都在W中，则称W是由{v
6、12(t),v(t),,Lvtn()}张成的。并称W是n维的。{Acos(2pfct+q)
7、ARÎÎ,qp[0,2]}例：中的所有元素（每个元素就是一个信号）都可acos2ppft+bsin2ftcos2pftsin2pft表示成cc的形式，即它是由c和c张成的，它是一个二维的线性信号空间。6．设f12(t),f(t),,Lftn()是能量为1，两两正交的一组信号，W是由f12(t),f(t),,Lftn()张成的，则称f12(t),f(t),,Lftn()为W的归一化正交基。W={Ag(t)cos(2pfcst+q)
8、AÎR,qpÎ[0,2],0£9、中是一个2g()tcos2pftc基带脉冲，gt()的带宽为W，fWc>>，归一化正交基是Eb和2sin2pft¥2cEg。其中Eg=ò-¥g()tdt是gt()的能量。7．设归一化正交基f12(t),f(t),,Lftn()张成了信号空间W，对任意某个信号ut()，若ut()ÎW，称归一化正交基f12(t),f(t),,Lftn()对信号ut()是完备的，否则称不完备。三信号的向量表示设f12(t),f(t),,Lftn()是信号空间W的一组归一化正交基（注意对给定的信号空st()ÎW间，基不唯一），对于任意的，必然有ns()t=åsnnft()i=1其中¥sii=òs(f)
10、f()tdt-¥就是说，st()由一组向量s=(s12,ss,,Ln)完全确定。我们说st()是信号空间中的一个点。对于任意的ut()ÏW，可求出ut()在W的n个归一化正交基f12(t),f(t),,Lftn()上的n个投影2/5LectureNotes262004/11/18¥uii=ò-¥u()tf()tdt，in=1,2,,L则W中的信号nuˆ()t=åuiift()i=1叫做ut()在W上的投影信号，简称ut()在W上的投影。可以证明，utˆ()是W中和ut()最接近的一个。所谓“
