“神奇”的法向量

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1、#高中版解题研究##中小学欲爹,2的8年第9期二}.--心...-尸性口,,随着新课程的实施向量进人了高中数学教材(2)二面角,,!特别是全2a一l一ea日制普通高级中学教科书第二册(下B)把如图设二面角尹的平面角为平面,!,,向量运用到立体几何的学习中使得抽象的推理论证mne二月的法向量分别是则或,.,可以通过具体的代数计算来实现弥补了一些学生想6二叮一.象力的不足向量方法一度成为高中数学教学一道亮,丽的风景但美中不足的是上述教材对向量方法的介/0,绍还没有放开手脚未能构建运用向量方法解决立,体几何

2、问题的完整知识体系当然学生也就难以体验.,,到向量方法的优越性以下借助法向量来介绍向量.方法在立体几何中的进一步应用!一法向t的概念2.(),:1"na如果那么向量叫做平面的法向量法,向量按方向可分为两类但由于法向量的长度(向量.,.a的模)不定所以平面的法向量有无数条2空间距离的计算!二法向t的求法!由于异面直线间的距离直线与平面的距离(直,由于高中生知识水平所限求一个平面的法向!练与平面平行)平行平面间的距离都可以化归为点,,.量通常采用待定系数法即在给定的空间直角坐标,,到平面的距离因此只需研究点到平面的距离,

3、,,:,a"=y,系下设平面的法向量x()在平面内任意如图3点P为平!,,,ananla二,找两个不共线的向量b由ib得二aAa面夕卜点点为,#,!!,"二x:,0b0从而构成一个关于y的不定方程组na内任一点为的法,,解此方程组并令其中一个未知数的值为l即可得到尸a向量贝惊到平面#:的一个值的距离d(OP的长)!也就是向在"上三法向t的应用颤声.1空间角的计算,的射影的绝对值所()l斜线与平面所成的角!:二淤以d可表示为d,,lABaAB"如图是平面的一条斜线与平面所.,,:口刃a3证明空间中的平行与垂直关系成的角

4、为为的法向量则有公式sn"",ie二一"<">一耐()l直线与平面,"a二a设向量是直线的方向向量是平面的法,向量则/一a令冷..;→/,"aaa一.n←当5时/~(2)平面与平面!,mna设向量分别是平面尹的法向量则口一冲.1→户叭(l)(2)←"/户冲爪/民图l!四例题展示42##############,##########,,小高中版208年第9期一解题研究}中学数今旧..,:-:,,:,x,,,llAB一ABcD了二1二一2二4n二4l一2例在棱长为的正方体Dc中令则于是()一!!,!!,,l,-EFABB

5、C-EF丫A一一B分别为A的中点求平面的一个等于二面角DE的平面角.法向量.刃口n丫1万.cos,<滋扭>二:.解以D为坐标原!m日1424点建立如图所示的空.丫l万:A,一DE一Bs,二面角的大小为acrocD一间直角坐标系那涵42,,327则l例(加年福,4l告,0)城合,0)#/.八!建卷理18题改编)如纬.,,G,0,6-(图正三棱柱ABC合):,.一JABc--的所有棱长都,丫一洲!无由此得,:,一厂:为2刀为CC的中点二少I/,,,少了二0一EB.图,:兹一EB上一了(合合)为B的中点求匕,(l

6、)AE与平面二一/对:;(合参.)ADB所成的角一:一x,,2AADB;Fn二,y)z()二面角的大小设平面EC的法向量为(八甲J今名皿-,一,-k,l.;"不(3)点C到平面A刀刀的距离由防LIL"n劣了n一上可得:,-薛爪Ld解()l取BC的中点0连结Aa.二0,.r-丫JeXZ,vABC,AO1B.C二y为正三角形幼:,,,丫ABC一ABCABC上二.y在正三棱柱中平面平q一0::,尹面BCCB.,,,二n=.y1-召F11.:令得平面的一个法向量为(1),AO一平面BCCB例2(2X()8年高考I:取BC的中

7、点,全国卷.l理19)如图5正:,,o以"为坐标原点一,I:1四棱柱ABDCA召c刀7!!建立如图所示的空间,},二二!!.B4E,中AAZ点在{::O一直角坐标系xyz则,,二C上且CE3ECi,,,一,,,B(100)D(ll0);::(l)证明AC上平:,,,,注(o只万)界(oo万)BED;,-面丈i.,,E(ll0):-.A,,,(2)求二面角:二一21我动(0).DE一B习的大小,,,=一,2(万)X片:解以D为坐标原斌,,.二ll一7.()图,万5D一对点建立如图所示的空间直角坐标系xyz各点坐,,,,

8、:,,,,,,:,,,,,,m二xyABD标如下B(220)C(020)A(204)E(021)设向量()z是平面的法向量.,,,,,,,,二二=二,则(o21)(22o)(2o4)=二一++二o旅丽斌则二武0动,0y2瓜,,户二一22一4(叫一+y二戒月耐.)入,0,x,,z=xlm二犷为平面刀石刀的法向量yZ()设(整理得.#,丫m二0m.