浅谈假设检验中原假设和备择假设的建立

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1、第２８卷第２期大学数学Ｖｏｌ．２８，№．２２０１２年４月ＣＯＬＬＥＧＥＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＡｐｒ．２０１２浅谈假设检验中原假设和备择假设的建立张玉环（天津理工大学理学院，天津３００１９１）［摘要］建立原假设和备择假设是进行假设检验的第一步．如何设立假设检验中的原假设和备择假设，是学生和初学者普遍困扰的问题．而根据奈曼—皮尔逊准则，原假设和备择假设的地位不对等．本文对如何建立假设检验中的原假设和备择假设进行了讨论，给出了几个建立原假设和备择假设的原则．［关键词］原假设；备择假设；犯第一类错误［中图分类号］Ｏ２

2、１２［文献标识码］Ｃ［文章编号］１６７２－１４５４（２０１２）０２－０１１７－０４假设检验隶属于统计推断，在统计学的理论和实际应用中都占有重要地位．建立原假设和备择假设是进行假设检验的第一步，也是极重要的一个环节，它是把一个实际问题转化为假设检验问题的桥梁．如何设立假设检验中的原假设和备择假设，是学生和初学者普遍困扰的问题．而对如何建立原假设和备择假设，有的教材和文献列得不够全面，有的一带而过，有的蜻蜓点水，但很少给出具体的原则和详细的解释，学生和初学者仍很迷惑．给出原假设和备择假设的建立原则具有重要的意义．

3、１问题的提出根据奈曼—皮尔逊准则，控制犯第一类错误的概率α，即控制当原假设成立时，由样本作出拒绝原假设的概率，尽量使犯第二类错误的概率变小．这具有保护原假设的意图．在作假设检验时，原假设和备择假设是一块提出来的，根据样本二者选其一．但原假设和备择假设的地位不对等，不能对换．例如，一种电子元件，要求其使用寿命不得低于１０００小时，现在从一批这种元件中随机抽取２５件，测得其寿命平均值为９８５小时．已知该种元件寿命服从标准差σ＝１００小时的正态分布，试在显著性水平α＝０．０５下，确定这批产品是否合格．设元件寿命Ｘ～

4、Ｎ（μ，σ２），σ＝１００，ｎ＝２５，ｘ珚＝９８５，α＝０．０５．解法１建立假设Ｈ０：μ≥１０００；Ｈ１：μ＜１０００．检验统计量的观测值为ｘ珚－１０００９８５－１０００ｚ＝槡ｎ＝槡２５＝－０．７５，σ１００拒绝域为｛Ｚ＜－Ｚ０．０５｝＝｛Ｚ＜－１．６４５｝．因为ｚ＝－０．７５＞－１．６４５，所以不拒绝Ｈ０，即认为这批产品合格．解法２建立假设Ｈ０：μ≤１０００；Ｈ１：μ＞１０００．检验统计量的观测值仍为［收稿日期］２００９－０９－２８１１８大学数学第２８卷ｘ珚－１０００９８５－１０００ｚ＝槡ｎ＝槡２５＝－０．

5、７５，σ１００拒绝域为｛Ｚ＞Ｚ０．０５｝＝｛Ｚ＞１．６４５｝．因为ｚ＝－０．７５＜１．６４５，所以不拒绝Ｈ０，即认为这批产品不合格．由此看出，原假设和备择假设建立的位置不同，得出了截然相反的结论．事实上，针对此例，只要样本均值满足ｘ珚－１０００－１．６４５＜槡２５＜１．６４５，１００即９６７．１＜ｘ珚＜１０３２．９，就都会得出相反的结论．建立哪种形式的原假设，取决于检验的角度．２原假设和备择假设的建立原则选用哪个命题做原假设，要视具体问题的目的和要求而定，它取决于犯两类错误将会带来的后果．一般的，按下面几个原

6、则建立原假设：ｉ）往往把有把握的、不能轻易被否定的命题作为原假设Ｈ０，而把无把握的、不能轻易肯定的命题［１，２］作为备择假设Ｈ１．如考虑新工艺是否能提高效益．只有真正能提高效益的新工艺才可能被采用．这是因为采用新工艺，必然要购进新设备、调整生产线、培训人员等进行人力、物力、财力的投入．作为企业的主管部门，作出采用新工艺的决策应持慎重态度．若以μ０代表采用新工艺前的平均效益，μ代表采用新工艺下的平均效益，则原假设和备择假设必须设为Ｈ０：μ≤μ０；Ｈ１：μ＞μ０．这样当在显著性水平α下，拒绝原假设Ｈ０时，才可认为

7、新工艺确实提高效益．因为企业的主管部门心中有数，做错这个结论的可能性大小只有α．［３］ｉｉ）当我们的目的是希望取得对某一陈述强有力的支持时，把这一陈述的对立面作为原假设Ｈ０．仍用在ｉ）中提到的例子，我们希望取得新工艺提高效益这一陈述的有力支持时，将其对立面“新工艺不能提高效益”作为原假设，即Ｈ０：μ≤μ０．ｉｉｉ）尽量使后果严重的错误成为第一类错误．例如，我们要检验某个求医者是否患有某种疾病．如果原假设和备择假设建立为Ｈ０：患者患病；Ｈ１：患者不患病，则犯第一类错误意味着是把患病当作不患病，后果是有可能导致此

8、人死亡．若将原假设和备择假设建立为Ｈ０：患者不患病；Ｈ１：患者患病，则犯第一类错误意味着是把不患病当作患病，不仅给此人带来精神上及身体上的痛苦，还会造成经济上的浪费．虽然无论在哪种情形，有病当无病、无病当有病都有不良后果，但后果更严重的是将有病当无病．由于我们所做的检验控制的是犯第一类错误的概率，因此一般设Ｈ０：患者患病．下面讨论更严肃的刑事法官判案过程．法官审判某嫌疑人是否有罪．若“Ｈ０：此嫌疑人