线代第五章答案

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1、姓名____________班级_____________学号______________任课老师_____________第五章二次型一、温习巩固1、写出下列二次型的矩阵1）2）3）4）5）6）1.写出下列矩阵对应的二次型1）2）3）4）2.判定下列二次型的正定性1）解：　的矩阵为，，，，所以为正定2）解:此二次型的矩阵为顺序主子式所以此二次型不是正定二次型.-6-姓名____________班级_____________学号______________任课老师_____________3），当取何值时，二次型为正定．　　解　的矩

2、阵为，，，，故当时，二次型为正定．一、练习提高1.求一正交变换，把二次型化为标准型。解：此二次型的矩阵为，特征多项式，对应有特征向量对应有特征向量取并令，则二次型可化为。2.求一个正交变换，把二次型化为标准形。解：此二次型的矩阵为，特征多项式，对应有特征向量对应有特征向量对应有特征向量取并令，则二次型可化为。3.确定使为正定二次型。-6-姓名____________班级_____________学号______________任课老师_____________解：此二次型的矩阵为，二次型正定的充要条件为此矩阵正定，即要求解得。4.已

3、知二次型通过正交变换可以化为标准形，试求参数和正交矩阵。解：此二次型的矩阵为，由题意知道与对角矩阵相似。所以解得。也已知道矩阵的特征值为1，2，5。对应有特征向量对应有特征向量对应有特征向量所以可以取。5.证明：(1)设为可逆矩阵,证明：为正定二次型。证明：（因为为可逆矩阵），所以为正定二次型。(2)设对称矩阵为正定矩阵，证明：存在可逆矩阵,使得。证明：参考推论5.2。(3)设对称矩阵为正交矩阵，证明：对于任何向量成立。证明：若为正交矩阵，则，-6-姓名____________班级_____________学号___________

4、___任课老师_____________从而。一、思考与深化1．验证并思考：二次型经过正交变换则椭球面方程化成了标准形式.2.设是定义在的邻域上的多元实值函数且属于的函数（即所有二阶偏导数在此邻域内连续）。若，称是函数的临界点。（1）在临界点的泰勒展开式（14）（2）当二次型正定的时候，在取得局部极小值；当二次型负定的时候，在取得局部极大值。（3）求二元函数在正方形区域上的极值。分析：记二次型（15）-6-姓名____________班级_____________学号______________任课老师_____________注：

5、二次型（15）对应的矩阵是通常称为是函数给定点的Hesse矩阵。解：（3）考虑函数在开区域内可能的极值点。由解得可能的极值点-6-姓名____________班级_____________学号______________任课老师_____________又记，此矩阵负定，所以在点取得局部极大值；，此矩阵正定，所以在点取得局部极大值；，此矩阵不定，所以在点不取局部极值。从几何图形上看，这些结论是明显的。-6-