圆系方程的推导及拓广

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1、38福建中学数学2011年第3期曲、作和、逼近，所以某些和式不等式可以利用积n1121+=∫f()xdx++[ln(n1)ln5]−<+lnn．分的定义进行证明．2222原不等式获证．例4（2009年全国数学联赛试题）求证不等式：nnk1−<1l∑k−n1nn≤1，，=2，"．证明∑2≤lnn+也可以用下面的方k2+12i=1k+12i=1证明原不等式等价于：法．n=1显然成立，当n≥2时，曲边梯形的面积用nk1以fifi()，，(1)(12+i=，"，n−1)为底边，1为高的直lnnn−<1∑2≤ln+.i=1k+12角梯形去逼

2、近，可以得到：xnk1设fx()=∈2，，x(0+∞)，则和式∑2可[((f1)(++++fff2))((2)(3))"+−((1fnf)(+n))]x+1i=1k+12nk1n以看作是以f()ii(=12，，，"n)为长，1为宽的长方形=−+∑2((1)())ffn<∫fxdx()i=1k+121面积．在图1中，根据积分定义有n12kn12=+[ln(n1)ln2]−，∑2>=+∫fxdx()[ln(n1)ln2]−2i=1k+112所以，>−>−lnnnln2ln1．nkn1121yy∑22<+++[ln(nn1)ln2]−<

3、+ln．i=1kn++11222参考文献[1]安振平．妙用抽屉原理证明不等式[J]．数学通报，2010（1），61-621234nx1243nx[2]陈炳堂．证明数列不等式的新解法——构造不等式[J]．数学通报，2010（2），36图1图2另外半边的不等式对于n=1显然成立，当n≥2nnkk11时在图2中，类似有∑∑22=+

4、念，但简单地说，圆系方程就是过两圆交点的圆的方高考数学《考试大纲》却要求掌握圆的标准方程和程式，可以写成已知两圆方程式的线性组合．即若2222一般方程，理解圆的参数方程；在能力上能根据所给定两圆Cx:0+ydxeyf+++=与Cxy:++11112给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求出dxeyf++=0，两圆交于A，B两点．则过A，B222圆的方程，结合圆的几何性质解决与圆有关的问的圆C的方程可以写成α()x22++++ydxeyf+3111题．由此可看出，圆系方程无论从方法上还是从内β(xyd22++++=xeyf)0．若

5、α≠0，则圆C的方2223容上都是教学中必须引起重视的问题．β2222程可以改写为()x+++++ydxeyf(xydx++从一般意义上说，圆的方程中有不确定的参数，1112α2222当参数变化时就得到一系列圆，这些圆构成的集合+eyf+=)0，即()x+yd++++++xeyfkxy(22111就是一个圆系，这个含参数的方程就是圆系方程．利dxeyf++=)0．222用圆系方程解决有关圆与圆、圆与直线相交或相切在平时教学中，教师往往没太注意给学生介绍的问题，能简化解题步骤，快速而准确地得到结果．这种方法的方式和时机，使很多学生对

6、此方法只是2011年第3期福建中学数学3922一知半解，影响其正确和灵活运用．本文将给出圆C上，故满足方程xyd++++=xeyf0与21111111系方程的一个推导方法，期望学生能从中领会圆系22xyd++++=xeyf0．又A点在圆C上，满足11212123方程的基本思想．(*)式，推得2222αβ()x++++ydxey(xyd+++xey)111111112121+c=0，进而推得，α()()−ff+−+=βc0，c=+αfβf(由B点1212OOO231也可得出相同的结果)，CC2C31进一步整理(*)式得，2222αβ

7、()x++++ydxey(xydxey++++)(αf11221如上图，首先不难验证过交点A、B的圆C，3+βf)0=，推得2其圆心O必与已知圆C、C的圆心O与O共线．若312122222αβ()x+yd++++++++xeyf(xydxey11122设O为原点，则f)0=，de22211Cxydxeyf:0++++=⇒−−O(，)1111122并且当α≠0时，可改写为JJJJK2222de11()x+++++++++yd111xeyfkxydxeyf(222)⇒=OO()−−，122=0，圆系方程得证．且在此基础上，进一步拓广：

8、若一圆与一直线交22de22于两点，那么过两交点的圆是否可以表示为圆的方Cxydxeyf:0++++=⇒−−O(，)2222222程与直线方程的线性组合呢？JJJJKde22⇒=OO()−−，L222由O，O及O三点共线，123JJJJGJJJJK