“矛盾”何处有条条通“罗马”——反证法证明过程中的归谬分析

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1、万方数据圉案例点评2014年2月“矛盾"何处有条条通“罗马"——反证法证明过程中的归谬分析⑩浙江省慈溪中学陈红冲反证法是间接证明中一种非常重要的证明方法，无论在高考中还是在竞赛中都能找到其强大的用武之地．本文针对反证法证明的关键步骤——归谬分析，详细阐释了何处发生矛盾、如何找出矛盾以及用“活”反证法这三个方面，以此提高学生的数学思维能力．一、问题的提出与思考笔者在很多堂的听课过程中发现：教师一般只讲授反证法的概念、反证法的基本步骤以及反证法的适用题型，但是对如何准确运用好反证法中归谬这一步骤缺乏详细

2、的指导．笔者翻阅了高中数学选修2—2教师教学用书中“直接证明与间接证明”这一节，教材推荐3个课时，除去直接证明的教学课时，反证法的教学至多2个课时，同时学科指导意见(理科)推荐1个课时．但在实际教学当中，笔者认为这些课时是不够的，主要原因有以下两点：(1)反证法是广泛应用的数学证明方法，甚至在某些问题上，只能用反证法，其重要性可见一斑．特别是历年高考数学经常出现反证法的试题足以说明要重视反证法教学以及增加课时的必要性．(2)虽然在平时的教学中时常出现反证法的试题，但是对反证法的证明缺少系统、详细的认

3、识；虽然课堂教学中教师对反证法的概念、证明步骤以及适合反证法的题型讲解较多，但对证明中的“归谬”这一关键步骤何处发生矛盾、如何选择矛盾的焦点缺乏准确的认识，因此需要集中时间指导学生学习反证法．二、反证法步骤的“再认识”1．如何“引向矛盾”对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件，使得在证明过程中发生矛盾的可能性增加了，从而增加了反证法证明方法的总数，具体如何“引向矛盾”，笔者在例1中引用孙维刚⋯老师的一个经典例题三种证明并补充第四种证明来说明．蠢震霪麟中’?毒殳’?高中版例1求证a，b，c

4、为正实数的充要条件是a+b+c>O，且曲+6c+co>0和abc>0．分析：为了便于分析，将a+b+c>0，且ab+bc+ca>0和abc>0分别标记为条件(1)，条件(2)，条件(3)．因为a，b，c为正实数，显然易得a+b+c>O，且ab+bc+ca>O和abc>0．即“必要性”的证明易于直接完成．证明“充分

5、生”时，要综合考虑三个不等式，推出a，b，c∈R+，有些难度，于是，尝试反证法．证法1：证充分性：若a，b，c不全为正实数，由abc>0，则它们只能是二负一正．不妨设a<0且b<0且c>0

6、，又由于c击+6c+c(B>0=亭口(6+c)+bc>0．因为bc0，(半)又a<0，所以b+c<0，(料)而口+6+c>0j口+(6+c)>0，所以D0．这与a<0的假设矛盾．所以假设不成立，故结论成立．小结1：在证明过程中，先利用条件(3)作出的假设与条件(2)得出中间结论(料)．再结合条件(1)得出新的结论与假设矛盾．证法2：证充分性：从(术)开始，如下进行推理：因为叶6+c>0jn+(b+c)>0及a<0，所以6+c>0-又由a

7、．小结2：在证明过程中，先利用条件(3)作出的假设与条件(2)得出中间结论(术)，再利用条件(1)与假设得出中间结论，这个结论与结论(*)产生自相矛盾．证法3：证充分性：若a，b，c不全为正实数，由abc>0，则它们只能是二负一正．不妨设a<0且6<0且c>0，因为曲+6c+co=c(叶6)+曲>0，所以ab>c(一b—n)>0及0+6+c>0jc>一俨6>0．所以ab>c(一a—b)>(叶6)2，flⅡab>(a+b)jL、2进一步得a％b2+ab<0，这与事实a2+b2+n6=(o+÷)+、Z7

8、’二62≥0矛盾．4小结3：在证明过程中，先利用条件(3)做出的假设万方数据2014年2月案例点评与条件(2)条件(1)得出新的结论，这个结论与事实公理矛盾．总结：以上充分说明，可能发生的矛盾，主要有：新结论与题设相矛盾；新结论与假设相矛盾；新结论与客观事实相矛盾；推理过程中的自相矛盾．2．进一步“例证”笔者从《不等式的解题方法与技巧》[2]一书中选取了一道含有两个条件的反证法试题，运用前面指出的方法进一步例证．例2证明或否定命题：若石、y为实数Ky，>O，y(y+1)≤(x+1)2，则y(y-1)

9、≤戈j分析：结合条件y(y+1)≤(石+1)2与结论Y(Y一1)≤z2的结构相似，猜测结论是成立，又此题从正面证明很难人手，故采取反证法．证法1：假设r(y一1)Ⅺ2，因为y(y一1)Ⅺ2I>0，所1)Ay1．又因为y≥0，所以y>1．由基本不等式知：[型半]2≥y(y-1)Ⅺj即(y--1)2X2所以y>悱12．进一步：y(y+1)-y(y一1)+2yⅪ2+2y>x2+2(⋯+÷)-(I戈I+1)2≥(x+1)2，且Oy(y+1)>(x+1)2．这与条件y