微分方程形式的蛛网模型

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1、云南大学学报(自然科学版),2007,29(S1):20～23CN53-1045/NISSN0258-7971JournalofYunnanUniversityX微分方程形式的蛛网模型苏梅会,化存才(云南师范大学数学学院,云南昆明650092)摘要:首先,在连续时间的条件下,建立了蛛网模型的微分方程形式;其次,通过分析微分方程模型平衡点的稳定性,得到了蛛网模型稳定的条件;最后给出与微分方程模型相应的经济解释和具体应用.关键词:蛛网模型;微分方程;平衡点;稳定性中图分类号:O175文献标识码:A文章编号:0258-7971(2007)S1-0020-04许

2、多商品(如猪肉,水果等)的市场价格、数量会随时间的变化而发生变化,呈现时涨时跌、时增时减、交替变化的规律,用图形表示通常表现为一幅蛛网之状.1934年英国经济学家尼古拉斯.卡尔多将它定名为蛛网理论.蛛网理论根据产品需求弹性与供给弹性的不同关系,将波动情况分成三种情况:收敛型蛛网(供给弹性小于需求弹性)、发散型蛛网(供给弹性大于需求弹性)、封闭型蛛网(供给弹性等于需求弹[1]性).许多对蛛网理论的研究(参见文献[1～4])都是将时间离散化后,从差分方程的角度入手的,本文将在连续时间的条件下,建立起微分方程形式的蛛网模型,研究了蛛网模型的稳定性,并对模型结果

3、进行了经济解释和具体应用.1模型建立我们考虑一种单一商品的市场经济的蛛网模型,并作如下的假设:(1)时间是连续变量,价格、商品数量随时间连续变化;(2)商品存在自然损耗、变质等非人为损坏情况,称此类商品为损坏商品;(3)最终市场上的商品数量是由生产者的供给关系及损坏商品的数量共同决定的.损坏商品的数量越多,商品的价格越低,则商品数量越少;(4)商品的价格是由消费者的需求关系和损坏商品的数量共同决定.商品的需求数量越多,而损坏商品数量越少,则价格越低.记时刻t商品的数量为x(t),商品价格为y(t),单位时间的供给量为g(y(t)),需求量为f(x(t))

4、,商品损坏率为μ,由损坏商品引起的价格上涨率为β,则由假设(3),(4)知x,y满足微分方程组dx=g(y)-μx,dt(1)dy=f(x)+βy.dt当μ=β=0时,系统(1)为可积,它有第一积分G(y)-F(x)=C(其中F(x),G(y)分别为f(x),g(y)的原函数,C为常数),这是一族围绕平衡点的闭曲线.系统(1)中两式相除,得X收稿日期:2007-05-24基金项目:云南省引进高层次人才工作经费(2003),云南师范大学数学学院“数学建模课外实习与科技活动”项目(2006)和云南省本科教改项目“现代教师教育”—数学专业建设(2005-201

5、0)资助.作者简介:苏梅会(1979-),女,云南人,硕士生,主要从事微分方程与动力系统和实际问题的数学模型方面的研究.通讯作者:化存才(1964-),男,教授,硕士生导师,主要从事微分方程与动力系统和实际问题的数学模型方面的研究.第S1期苏梅会等:微分方程形式的蛛网模型21dxg(y)=.(2)dyf(x)公式(2)也可改写为f(x)dx=g(y)dy.(3)根据公式(2)和(3),系统(1)可解释为供给曲线和需求曲线在平衡点处斜率相等,即供给变动对价格的反应程度与需求变动对价格变动的反应程度相等,也即供给弹性等于需求弹性,它们既不趋向平衡点,也不远离

6、平衡点,此时称为封闭型蛛网.2模型的定性分析当μ≠0或β≠0时,我们用具体的供给函数和需求函数进行分析.供给量是厂商在某一时期,某种价[1]格水平时,计划出售的产品与劳务的数量.供给量由多种因素决定,这里略去价格以外的其他因素,只讨论供给量与价格的关系.一般说来商品价格低,生产者不愿生产,供给量少;商品价格高,供给量就多.因[5]此供给函数一般为价格的单调增函数,所以我们可以假设供给函数为价格的线性函数g(y)=g0+ay(t),g0>a,a>0.(4)[1]需求量是指消费者愿意和能够购买一定数量的物品和劳务.需求量也由多种因素决定,这里也略去价格以外的

7、其他因素,只讨论商品数量与价格的关系.因为商品数量越多价格越低,所以我们可以假设需求函数为价格的线性减函数f(x)=f0-bx(t),f0>0,b>0.(5)把公式(4),(5)代入系统(1),可得dx=g0+ay-μx,dt(6)dy=f0-bx+βy.dt-μa[6]系统(6)是一阶线性微分方程组,可用平面动力系统的方法研究,为此记A=.-bβaf0-βg0μf0-bg02当

8、A

9、=ab-μβ≠0时,系统(6)有唯一平衡点p0,.A的特征方程为λ+ab-μβab-μβ2(μ-β)λ+ab-μβ=0,特征值(T±Δ)/2为,其中T=β-μ,Δ=T-4D

10、,D=ab-μβ.按照微[6]分方程平衡点稳定性理论及分类,可得:μβ(1)当D