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1、第29卷第3期黄冈师范学院学报Vol.29No.32009年6月JournalofHuanggangNormalUniversityJun.2009Matlab求解一维半边无限高方势阱李柏林(黄冈师范学院物理科学与技术学院,湖北黄州438000)摘要使用Matlab软件求解量子力学中的一维半边无限高方势阱问题.首先,利用Matlab软件探讨求解此问题中的超越方程组的数值方法,得到相应的能级表达式;继而,求出一组具体的波函数和概率密度函数并给出概率密度函数的图示;最后,对不同概率密度分布情况的物理意义进行了简要的说明
2、.关键词一维势阱;Matlab;数值计算;能级中图分类号O413.1文献标识码A文章编号1003-8078(2009)03-0033-04Solvingone-dimensionalhalfinfinitehighsquarepotentialwellwithMatlabBerlinLee(CollegeofPhysicalScienceandTechnology,HuanggangNormalUniversity,Huangzhou438000,Hubei,China)AbstractTheproblemofon
3、e-dimensionalhalfinfinitehighsquarepotentialwellissolvedwithMatlab.Firstly,thetranscendentalequationsinthisproblemarenumericallycalculatedandenergylevelsareob-tained;then,agroupofspecificprobabilitydensityfunctionsarederivedanddisplayed;andfinally,thedis-tribu
4、tionsofthedifferentprobabilitydensitiesfordifferentenergylevelsarebrieflydiscussed.Keywordsone-dimensionalpotentialwell;Matlab;numericalcalculation;energylevel如图1,设质量为μ的粒子在势场∞,x>0V(x)=-V0,0≤x≤a0,x>a中运动,求定态Schrödinger方程的解.在此,我们只考虑束缚态情形,即-V0≤E≤0.写出分区的定态Schröding
5、er方程Χ=EΧ为22dΧ-2-V0Χ=EΧ,0≤x≤a图1一维半边无限高势阱2μ2x22dΧ-2=EΧ,x>a2μ2x2μ(V0+E)-2μE令k1=2,k2=2,则分区的定态Schrödinger方程为收稿日期:2009-03-02.·34·黄冈师范学院学报第29卷2Χ″+k1Χ=0,0≤x≤a2Χ″-k2Χ=0,x>a[1]可设各分区的通解为Χ1(x)=Asin(k1x+φ),0≤x≤a-k2xk2xΧ2(x)=Be+B′e,x>a由波函数连续性、有界性、归一化等条件可解得φ=0,B′=0k2aB=Aesin
6、k1a即得波函数0,x<0Χ(x)=Asink1x,0≤x≤a(1)k2(a-x)Asin(k1a)e,x>a其中A由下式确定21asin2k1asink1a2=-+(2)A24k12k2且k1和k2有如下关系tank1a=-k1/k2(3)222μV0此外,有k1+k2=2(4)要求解具体的概率波函数,必须求解由(3)、(4)式构成的方程组,然而此方程组是超越方程组,没有解析解.以前的一些文献中的讨论往往止步于此.随着计算机技术的日益提高,可采用数值方法求解此问题,方法简捷且结果直观.下面将使用Matlab软件求
7、上述方程能级的数值解,并图示粒子的波函数和概率分布情况.1确定粒子的能级[2]令ξ=k1a,η=k2a,可将上述方程组写成tanξ=-ξ/η2222μaV0ξ+η=2量级估计,设所考虑的粒子为电子,在原子大小-1022(10m),高为-100eV的势阱中运动,则2μaV0/=0.81422分别取2μaV0/=2,4,6,8,10,12,14,16作图,见图2.22π由图2可以看出2μaV0/的取值在0至之间222时,两曲线没有交点,即没有束缚态能级;2μaV0/的图2确定粒子能级的方程图π3π223π5π取值在至之
8、间时,两曲线有一个交点,即有一个束缚态能级;2μaV0/的取值在至之间2222221时,两曲线有两个交点,即有两个束缚态能级;依次类推,当2μaV0/的取值在(n-)π至(n+21)π之间时,两曲线有n个交点,即有n个束缚态能级.222以2μaV0/=6为例,求相应的两个束缚态能级.如图3所示第3期李柏林:Matlab求解一维半边无限高方势阱·35·利用Ma
