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1、2004年10月沈阳航空工业学院学报Oct.2004第21卷第5期JournalofShenyangInstituteofAeronauticalEngineeringVol.21No.5文章编号:10071385(2004)05009202级数证明问题的几种处理方法12孟祥彦高建福(1.沈阳航空工业学院理学系,辽宁沈阳110034;2.安徽财贸学院基础部,安徽蚌埠233041)摘要:通过有关级数证明的几个例题,提出了思考和分析问题几种常用的方法。特别是对一般项为抽象形式的级数证明,更要思路开阔,根据所给的条
2、件确定解决问题的不同方法。在级数的一般项中含有参数时,要对参数取值的不同情况进行讨论,才能得到完整的结果。最后介绍了一致收敛性质在证明问题中的应用,尤其当级数的一般项由定积分表示时,一致收敛级数的逐项微分、逐项积分的性质经常会用到。关键词:级数;收敛;发散;一致收敛中图分类号:O174.51文献标识码:A∞11这说明级数∑(-)收敛。从(1)式,由正项n=1sn-1sn1用不同的方法解所提出的问题∞an(1)级数的比较判别法知级数∑2收敛。在级数的证明问题中,由于题型复杂,定理较n=1sn∞多,因此做起来有一
3、定困难。有时,在证明级数的an其次,我们证明级数∑发散。n=1sn敛散性时要从不同的角度出发,采用不同的方法、由于limsn=+∞故知,对于任意的自然数N,定理去证明。看下面一个具体例子。n→∞n∞∞a存在自然数m,当m>N时sm>2sN,此时n设an>0,sn=ak且∑an发散。则∑2收k=1n=1n=1snaN+1aN+2am1(++⋯+>aN+1+aN+2+⋯+∞sN+1sN+2smsman敛,而∑s发散。1sN1n=1nam)=(s)=1->m-sNsmsm2∞an∞证明:先证∑2收敛ann=1sn因
4、此由柯西收敛准则知,级数∑s发散。n=1n∞实际上,由an>0知sn>sn-1,而∑an发本问题的解决过程中,应用了两种不同的方n=1法。证收敛时用的是正项级数的比较判别法。证发1散,故limsn=+∞由此得到lim==0.此时散时用的是柯西收敛准则。这说明在论证某些结n→∞n→∞sn[1,2]论时,有时要运用不同的概念和解决方法。anan0<2<通过本题的证明,有理由猜测:an>0,sn=snsnsn-1n∞∞ansn-sn-111∑ak且∑an发散。那么级数∑sp当p>1时==-(nE2)(1)k=1n=
5、1n=1nsnsn-1sn-1sn收敛,pF1时发散。111111令Tn=(-)+(-)+⋯+(-)s1s2s2s3sn-1sn2由特殊到一般的方法11=(s-)(一般项中相关量的讨论)1sn在级数的一般项中,有时含有参数,这时我们11则limTn==n→∞s1a1要特别注意对参数的可能取值进行讨论。设{an}是单调增,趋于无穷的正数列,记un∞收稿日期:20040909an+1-an=p则级数∑un在pE1时收敛。作者简介:孟祥彦(1948),男,沈阳辽中人,副教授anan+1n=1第5期孟祥彦等:级数证明
6、问题的几种处理方法93证明:当p=1时∞11∞2n2n∑x(1-x)dx=∑x(1-x)dxan+1-an11n=1∫0∫0n=1un==-aaaa12nn+1nn+1x(1-x)1=dx=n1-(1-1111∫0x)6此时记sn=∑uk=a-+-+k=11a2a2a3上式计算中运用了∞∞11112n2n21-x⋯+-=-∑x(1-x)=x∑(1-x)=xanan+1a1an+1n=1n=11-(1-x)1=x(1-x)(
7、1-x
8、<1)由liman+1=∞知limsn=,从而级数n→∞n→∞a1下面再来讨论
9、一个有趣的问题,仍运用一致∞[4]收敛的性质。∑un收敛。n=1∞1-n-x当p>1时,由条件知,存在N,当n>N时,证明∑n=xdxn=1∫0panE1,因此时anEan且证明:由于-x-xlnxan+1-anan+1-anx=e0FpF(2)anan+1anan+1112n∞=1-xlnx+(xlnx)+⋯+(-xlnx)+⋯an+1-an2!n!但上面已证明级数∑收敛。故从n=1anan+1且在[0,1]上一致收敛。因而11∞(2)式,由正项级数的比较判别法知级数-x1kxdx=(xlnx)dx∞a∫0
10、∫0k∑=0k!n+1-an∑a在p>1时也收敛。综合起来便知,∞k1n=1nan+1(-1)kk=∑x(lnx)dx∞k=0k!∫0级数∑un在pE1时是收敛的。应用分部积分法可得n=1∞11ankk1k+1(lnx)k1k(lnx)k-1又如,判别级数3的敛散性,也必须对一x(lnx)dx=x0-kxdx∑n∫0k+1∫0n=111般项中的相关量a,就
11、a
12、F1,
13、a
14、>1的情形=-kxk(ln
