正交试验法与代数法的联用原理

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1、正交试验法与代数法的联用原理绵阳高新区四海精细化工研究应用中心[摘要]本文介绍试验寻优中的正交试验法与代数法联用原理，阐述联用方法可充分利用一次试验结果中获取更多信息，大大提高试验效率和精度，并减少试验次数，同时又保持正交试验法的传统优点。[关键词]寻优，正交试验法，代数法，泰勒级数，收敛速度[正文]1.正交试验法的评价正交试验法的理论基础是正交拉丁方理论与群论。在工作中可用的多因素寻优工作方法，一类是从优选区某一点开始试验，一步一步到达较优点，这类实验方法叫序贯试验法，如因素轮换法、爬山法等；另一类是，在优选区内一次布置一批试验点，通过对这批试验结果的分析，逐步缩小优选范围从而

2、达到较优点，如正交试验法等。科研中普遍采用正交试验法，因其具有如下优点：①实用上按表格安排试验，使用方便；②布点均衡、试验次数较少；③在正交试验法中的最好点，虽然不一定是全面试验的最好点，但也往往是相当好的点。特别在只有一两个因素起主要作用时，正交试验法能保证主要因素的各种可能都不会漏掉。这点在探索性工作中很重要，其他试验方法难于作到；④正交试验法提供一种分析结果（包括交互作用）的方法，结果直观易分析。且每个试验水平都重复相同次数，可以消除部分试验误差的干扰；⑤因其具有正交性，易于分析出各因素的主效应。但其也有一些缺点：它提供的数据分析方法所获得的优选值，只能是试验所用水平的某种

3、组合，优选结果不会超越所取水平的范围；另外，也不能给进一步的试验提供明确的指向性，使试验仍然带很强的摸索性色彩，不很精确。这样，正交试验法用在初步筛选时显得收敛速度缓慢、难于确定数据变化规律，增加试验次数。尤其在试验工作烦琐、费用昂贵的情况更显突出。2.正交试验法的代数学基础对试验的寻优工作，用数学语言可描述为求多维连续空间上的最大或最小值（极值）。但现实的试验工作又往往没有可用的数学模型，不能确切知道数据变化的数学规律。故处理上可以先求出其数学模型，再计算极值；或直接从试验点的组合中推算出一个较好值作为较优解。实际上，在高等数学上的泰勒级数：f(x)=Σf(n)(xn/n!，n

4、=0~+∞，用于求复杂函0)·(x-x0)数的近似解时，就利用了其收敛性原理。在试验寻优时也可同理可将描述试验对象的“数学函数”运用泰勒级数的数项代数式近似地拟合试验规律，代入各次试验的结果获得一组线性方程，用解析法求出方程的优值，即曲线的极点。显然，如果数据量大，则可以一次性用较高阶幂级数解出很精确的拟合曲线或函数。只消再用极少的进一步试验印证或寻优即可完成试验工作。缺点：代数学方法不能提供一种较好的试验安排方案，不如正交试验法规范直观，数据不易处理，故不常为人们使用。以上分析可以看到二者均是寻优，各有所长。如何取长补短？3.二者联合运用原理以L4)三水平标准正交表为例加以说明

5、。L4)有九次试验，如对每个因素均使用二次方程9(39(3拟合，因素间无交互作用即理解为各因素独立对结果作贡献。用代数方程表达有：f(x1,x2,x3,x4)=a0+a1x1+a2x12+a3x2+a4x22+a5x3+a6x32+a7x4+a8x42代入各xi的值，获得含九个未知数的九个线性方程，可求解出各ai。再运用多元函数求极值的方法，可以获得较优值。这样，一组试验便获得较优结果，而且不受水平取值范围的限制，并对进一步试验有较强的指向性。显然，从正交表得到的线性方程组的系数矩阵均是满秩的，对应的线性方程组有唯一解，即试验的优值是唯一的：AX=BX=A-1B其次，对因素间的交

6、互作用，在代数处理上，可用因素间相乘的项来表达：xim·xjn。（显然，代数法还可用来分析多元交互作用等问题。）以上分析说明正交试验法有其代数学基础。很易看到，对标准正交表，各因素的基本拟合级数的最高幂次为其水平数减一。[备注]关于均匀设计在均匀设计中，如3因素7水平的试验方案，只消7次试验，即U3）。这样的均匀设计的7次7（7试验也可代数法处理求解，各因素分配二次幂，另设一常数项，但数据的正交性不易保证。而正交试验法的处理很明确易理解。4.举例以一个L4)三水平标准正交表试验结果的处理为例加以说明。9(3Fig-1某正交试验法的试验数据（见注①）因素名ABCD结果试验号1301

7、.21.06526901.41.5503801.62.0604301.42.055561001.61.0656801.21.51007301.61.56086801.22.0709801.41.095Fig-2Fig-1的代数解析结果因素一次系数数值二次系数数值极值判别极值点(a0)1429.5047271Aa1-276.6415294a215.3072707极小9.036278734Ba3-1.8011854a40.0207845极小43.33001516Ca5-194.379