染病者有常数输入传染病模型

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1、第36卷第12期数学的实践与认识Vol.36No.122006年12月MATHEMATICSINPRACTICEANDTHEORYDecem.,2006染病者有常数输入的传染病模型杨建雅,张凤琴(运城学院应用数学系,山西运城044000)摘要:讨论在隔离措施下易感者和染病者都有常数移民的传染病模型.给出了模型的地方病平衡点,证明了地方病平衡点的稳定性.关键词:传染病模型;常数输入;地方病平衡点;稳定性1引言早期的传染病模型大多假设种群总数为常数.但是,随着社会经济的飞速发展,许多人离土离乡,形成

2、大规模的人口迁移,使得各种传染病不断扩散到整个社会,引起整体人群的恐慌,由于恐慌和歧视感染者被确定身份和公开身份的比例非常低,他们仍然在通过高危险行为,不断的、持续的感染他人.由此可见,染病者有常数移民是客观存在的.而对染病者人群进行隔离又是政府控制疾病流行的最直接的主要措施之一.因此,研究易感者和染病者都[1]有常数易民且具有隔离项的传染病模型具有重要的理论价值与应用价值.文讨论了只有[2]易感者有常数移民的SIRS模型,文讨论了易感者有常数移民的具有隔离项的传染病模[3]型,文讨论了易感者和

3、染病者都有常数移民没有隔离项的SIRS模型,本文讨论易感者和染病者都有常数移民的具有隔离项的传染病模型.2具有常数移民的SIQS模型设在时刻t,易感者人数为S,染病者人数为I,已隔离的染病者人数为Q,即将总人口分为易感者S类,染病者I类和隔离者Q类.再设t时刻单位时间内,一个病人能传染的易感者数目与此环境内易感者总数成正比,比例系数是
,从外界迁入的总人数是A,在迁入人群中染病者所占的比例是p,自然死亡率系数是d,因病死亡率系数是
;从染病者恢复到易感者的恢复系数是
,从隔离者恢复到易感者的恢复

4、系数是
,隔离系数是
.则可建立染病者和易感者都有常数移民的SIQS模型如下:S′=(1-p)A-
SI-dS+
I+
Q,I′=pA+
SI-(d+
+
+
)I,(1)Q′=
I-(d+
+
)Q.设人口总数N=S+I+Q,由(1)得N′=A-dN-
(I+Q),且有I′=pA+
I(N-I-Q)-(d+
+
+
)I,Q′=
I-(d+
+
)Q,(2)N′=A-dN-
(I+Q).收稿日期:2006-05-07基金项目:山西省重点扶持学科资助(2005024);运城学院院级项目(2005

5、207)12期杨建雅,等:染病者有常数输入的传染病模型15方程组(2)的平衡点满足方程组pA+
I(N-1-Q)-(d+
+
+
)I=0,
I-(d+
+
)Q=0,(3)A-dN-
(I+Q)=0.由(3)式得:
IA
(d+
+
+
)Q=,N=-,(d+
+
)dd(d+
+
)2且
(
+d)(d+
+
+
)I-(d+
+
)[
A-d(
+d+
+
)]I-d(d+
+
)pA=0.显然,当p>0时,(3)有唯一的正实根M(I1,Q1,N1),即为模型(2)的唯一正平衡点.对正平衡

6、点M我们有如下结果定理1模型(2)的正平衡点M(I1,Q1,N1)是局部渐近稳定的.证明在正平衡点M(I1,Q1,N1)处模型(2)的线性化方程的系数矩阵为
(N1-I1-Q1)-
I1-(d+
+
+
)-
I1
I1
-(d+
+
)0-
-
-dpA--
I1-
I1
I1I1=.
-(d+
+
)0-
-
-d其特征方程为pA
++
I1
I1-
I1I1=0.-
+(d+
+
)0

+d即32
+a1
+a2
+a3=0,其中pAa1=+
I1+(2d+
+
),(4)I1pAa

7、2=(2d+
+
)+d(d+
+
)+
I1(2d+2
+
+
),(5)I1pAda3=(d+
+
)+
I1(d+
+
+
)(d+
),(6)I1a110a11令
1=a1,
2==a1a2-a3,
3=a3a2a1=a3
2,分别将(3)(4)(5)(6)a3a200a3代入得
1>0,
2>0,
3>0,由Hurwitz判据模型(2)的正平衡点是局部渐近稳定的.证毕.16数学的实践与认识36卷3具有常数移民的SIQR模型大家知道,有不少疾病如麻疹、水痘等被治愈后可获得终身免疫力,以下

8、我们考虑具有常数移民的SIR模型.设R是时刻t移出者的数量,染病者和隔离者恢复后都进入移出者类R,结合SIQS模型的假设可建立如下染病者和易感者都有常数移民的SIQR模型:S′=(1-p)A-
SI-dS,I′=pA+[
S-(d+
+
+
)]I,(7)Q′=
I-(d+
+
)Q,R′=
I+
Q-dR.方程组(7)的平衡点满足方程组:(1-p)A-
SI-dS=0,pA+[
S-(d+
+
+
)]I=0,(8)
I-(d+
+
)Q=0,
I+
Q-dR=0.从(8)解得:A(
+
+d