双正交小波滤波器构造及其应用于图像边缘检测

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1、双正交小波滤波器构造及其应用于图像边缘检测王坤鹏,杨东勇（浙江工业大学信息工程学院浙江杭州310014）摘要：本文在总结边缘检测小波基选取原则的基础上，利用滤波器组技术，提出了具有对称性和正则性的双正交小波滤波器的构造方法，给出了滤波器的构造公式；进行了图像边缘检测实验，结果表明按本文方法构造的滤波器具有很好的图像边缘检测性能。关键字：边缘检测；滤波器组；正则性；双正交小波滤波器中图分类号：TP391.41文献标识码：AConstructionofBiorthogonalWaveletFilteranditsApplica

2、tiontoImageEdgeDetectionWANGKun-Peng,YANGDong-Yong(InformationEngineeringCollege,ZhejiangUniversityofTechnology,Hangzhou310014,china)Abstract:Inthispaper,theprincipleofchoosingwaveletbaseinedgedetectionissummerized.Thenconstructionofsymmetricbiorthogonalregularity

3、waveletfilterispresentedbybiorthogonalfilterbanks,andfilterformulaisgiven.Simulationresultsforimageedgedetectiondemonstratetheeffectivenessofthefilterconstructedbythepresentedmethod.Keywords:edgedetection;filterbanks;regularity;biorthogonalwaveletfilter1引言小波变换是图像边

4、缘检测的重要工具，小波基的构造和选取是应用小波变换进行边缘检测的重要问题。小波基可以通过小波滤波器方式加以描述，实际中常常通过滤波器组技术构造小波滤波器。本文提出了一种正则、对称的双正交小波滤波器的构造方法，并进行了实验验证。2边缘检测小波基选取原则用于图像边缘检测的小波常具有以下特点：[1](1)好的时频局部性；(2)对称性：若小波具有对称性，则没有相位畸变且计算方便，[2]而且最好是关于零轴对称，非零轴对称时小波分解会产生卷积相移，导致边缘发生重叠；(3)适度的正则性：正则性越高,函数越光滑，在频域中能量越集中，尺度函

5、数的正则性与小波函数的消失矩成对应关系，在某一尺度，检测出的模极值点的数目通常与小波消失矩的数[3]目成线性增长关系。但是正则性与计算效率常是一对矛盾，正则性越高，计算越复杂。3基于滤波器组技术的双正交小波滤波器构造⎛⎞22⎛⎞−12−定理1：如果滤波器H,H满足：Hz()=−+⎜⎟azaa++−z⎜⎟az；010⎜⎟22⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎛⎞aa22aa−12⎛⎞−Hz1()=−⎜⎟⎜⎟z+−+z⎜⎟⎜⎟−z，⎝⎠221aa−−22221221aa−−⎝⎠2212（a≠）；则H，H可以作为双正交滤波器组的分解低通和高通滤波器，

6、且H具0104有偶对称，H具有奇对称。1−l−l证明令Gz()=+zHz()−，Gz()=−−zHz()，则双正交滤波器组的抗混叠0110−k条件和延迟条件：Hz()()−+GzHz(−)Gz()=0，HzGzHzGz()()(+)()=cz00110011满足；双正交滤波器组的传递函数（c=2时）和冲激响应的总和：lk−qHzHzHzHz01()()−−10()()−=22z=z，∑hk0()=2，∑hk1()=0满足；kk所以H，H可以作为双正交滤波器组的分解低通滤波器和分解高通滤波器，且由H，H0101的z变换表达式

7、的系数可以看出H具有偶对称，H具有奇对称。01定理2：如果低通滤波器H满足：0⎛⎞22−12⎛⎞−22Hz0()=−+⎜⎟⎜⎟azaa++−z⎜⎟⎜⎟az且<≤a，⎝⎠22⎝⎠42则H对应的尺度函数能收敛成连续曲线，即具有正则性。0p−1(1+z)[3]证明：Daubechies提出：如果H0满足Hz0()=2Fz()，Hz0()==12，2jωp−1Fz()=−≠10；Fz(==11)，且

8、()

9、Fe在ω=0~2π范围内的上界值≤2，则通过迭代得到的尺度函数能收敛成连续曲线。此结论与滤波器组是否正交无关。++−−11⎡⎤

10、(1zz)(z)对Hz0()进行变形得：Hz0()=−22⎢2a1−()22a−2⎥22⎢⎥⎣⎦⎡⎤+−1(zz)令Fz()=−⎢⎥221222a−−()a，⎢⎥2⎣⎦jω22jω则

11、()

12、221222cosFe=−⎡⎤a−−()aω，当<≤a时，

13、()

14、Fe在⎣⎦4211−ω=0~2π范围内的上界值≤