设备是否更新

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1、摘要本文针对的模型是建立设备更新过程中的最小总支出的模型。在求解的过程中运用初等函数的解题方法建立模型和解除模型。并用了求最短路径的方法，求出指定两点之间的最短路即最小总支出。我们将第i年年初购进一台新设备设为变量vi((i=2，3，4，5，6)，其中，v6为虚设点，表示第五年年底购进设备，从而将该问题转化为求从v1到v6的最短路径。而后通过计算机的多次模拟运算，分析以及检验，验证出我们建立该模型的科学性、合理性以及正确性。关键字：最短路径最小总支出模拟运算问题重述随着生产的需要，每个公司都有一些

2、旧的机器设备，每一年公司都要考虑是购买新设备还是继续使用旧设备。若购买新设备，就要支出一笔购置费；若继续使用旧设备，则需要支付维修费，而且随着使用年限的延长而增长。某公司有一台已使用一年的生产设备，公司考虑下一年度是购买新设备还是继续使用这台旧设备。已知这种设备每年年初的购置价格（见表1），而第一年开始时使用的有一年役龄的老设备其净值为8，不同使用年限的维修费用（见表2），制定一个5年内设备的使用或更新计划，事5年内设备的使用维修费和设备购置费的总支出最小。表1年份2345年初价格（万元）1112

3、1213表2使用年限0-11-22-33-44-55-6年维修费用（万元）23581218模型假设1、机器在购买N年之后维修费用是固定不变的，不存在人为的破坏因素使之不能正常运行；2、公司有足够的资金支付设备；3、公司该设备只使用一台，不存在公司同时用多台机器的现象问题分析为了使问题简化，我们将求最小总支出转化为求最小路径问题，这样，设备更新问题可简化为求从v1到v6的最短路问题，可由上表得下图30182210165141514132V1V2V6V5V4V317172129（v1,v2）2=2（

4、v1，v3）2+3=5（v1，v4）2+3+5=10（v1，v5）2+3+5+8=18（v1，v6）2+3+5+8+12=30（v2，v3）11+2=13（v2，v4）11+2+3=16（v2，v5）11+2+3+5=21（v2，v6）11+2+3+5+8=29（v3，v4）12+2=14（v3，v5）12+2+3=17（v3，v6）12+2+3+5=22（v4，v5）12+2=14（v4，v6）12+2+3=17（v5，v6）13+2=15由上图，我们就可以算出设备更新的问题算出最小总支出符号说

5、明1、vi表示第i年年初购进一台新设备，虚设一个点v6，表示第五年年底；2、边（vi，vj）表示第i年初购进的设备一直使用到第j年初（即第j-1年底）；3、边（vi，vj）上的数字表示第i年初购进设备，一直使用到第j年初所需支付的购买、维修的全部费用模型建立由上述分析可知所对应的结点跟路径，下面给出其基本步骤：采用标号法，用两种标号：T标号和P标号，T标号为试探性标号，P标号为永久性标号，给vi一个P标号时表示从vi到vj的最短路权，vi的标号不再改变。给vi一个T标号是表示从vi到vj的最短路权

6、的上界，是一种临时标号，凡没有得到P标号的点都有T标号。首先给v1以P（v1）=0，给其余所有点T标号(1)由于（v1，v2），（v1，v3）,（v1，v4）,（v1，v5）,（v1，v6）边属于E，且v1，v2为T标号，所以修改这两个点的标号：T(v2)=2T(v3)=5T(v4)=10T(v5)=18T(v6)=30比较所有T标号，T(v2)最小，所以令P(v2)=12.并记录路径（v1，v2）。（2）v2为刚得到P标号的点，考察边（v2，v3），（v2，v3），（v2，v4）,（v2，v5）

7、，（v2，v6）的端点v1，v2。T(v3)=13T(v4)=16T(v5)=21T(v6)=29比较所有T标号，T(v3)最小，所以令P(v3)=13.并记录路径（v1，v3）。（3）考虑点v3，有T(v4)=14T(v5)=17T(v6)=22比较所有T标号，T(v4)最小，所以令P(v4)=14.并记录路径（v1，v4）。（4）考虑点v4，有T(v5)=14T(v1)=17比较所有T标号，T(v5)最小，所以令P(v5)=14.并记录路径（v1，v5）。（5）考虑点v5，有T(v6)=15因

8、只有一个T标号T(v6),令P(v6)=15，记录路径（v3，v6），计算结束。由计算结果可知：v1v3v6为最短路，路长为27，即在第一年，第三年初各购买一台新设备为最优决策，这时5年的总费用为27-8.模型求解与检验利用常规数学方法求解此题如下：由题意可知，设总共所用的支出为y，（1）不购买设备只维修时：y=2+3+5+8+12=30（2）购买一台设备时：a.第二年购买，其他年维修y=11+（2+2+3+5+8）-8=23b.第三年购买，其他年维修y=12+（2+3+2+3+5