第三届数学冬令营竞赛题及解答

《第三届数学冬令营竞赛题及解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、,年第三期第三届数学冬令营竞赛题及解答第三届全国中学生数学冬令营于年,,,,一,,,,再取月日至日在上海复旦大学举行竞赛由又有,,一’‘分两天进行每天三题时间为小时分之么,,,各题均有多种解法因篇幅所限每题仅给’二十毛爹盖出一种解法寸、,,,,,一设⋯是给定的不全为的,,,,,,⋯,,由得到实数。是实数如果不等式·子名“,,,二一,护公一⋯十。,,一丫尹呈一乏。、二蕊丫一由柯西不等式一。··,⋯丫乡盈⋯,,,⋯,,,,,万了丁丁了一对任何实数肠成立求’‘六一丫下,个云,,的值·。,二取⋯由了子置⋯盆,,,,·’·,护。”因⋯。不全为故由和

2、·。·⋯口,可得了,·、耳丽丁’了介丁万不第二试分别记为,,,,,’,,本试共有三题每题满分分、,,,,,,求证子十量十聋子落一一串数⋯,以的规律是第一个数是后的每一个,‘直到为止安徽提供数等于它前面的一个数加,将所有这些数相乘试求所得数的尾部零的个数例如的尾部零的个数是黑龙江提供,夕一、,,兰上卫都是整二如果尹夕,尹,夕数并且试求的值宁夏提供、,尹三如图△丑和△,’是两个,全等的等边三角形六边形的边长、中等数学,,自翻一一,曰,,,’由托勒密定理有,,二,二”一取八一一·,,·工工和得到镇且,,⋯十,一里二’月,,毛、’。丫万草万车一同

3、理有由知式两端可约去公因式而得到。,,一,,一一一十一护﹀︷、‘‘‘一,,由和即得‘,。,工一‘‘十·孟⋯·盖二“片丫万,将此写入约式右端即知柯西不等式四式相加即得,,中等从而有实数久使得、一号成立尹,,,工、‘‘入几⋯,,。价又,代入式即得为使式中等号成立当且仅当‘,,·和均为等式十十⋯十凡叮武武时,式等号成立当且仅当四边形丑,召,再代入内接于圆这时,二,,乙乙乙了口书‘,,乙,‘,,,,,即为匕的平分线同理,,,,‘,,‘二、设是同心圆的半径是分另为匕匕和,,半径的倍四边形内接于‘匕的平分线这意味着为四边形、,,,,,‘将延长交圆于延

4、长交圆的内切圆的圆心二故知四边形于,。,,延的,‘,延长交圆于为正方形即当且仅当四边形、工‘‘长交圆干试证四边形山涯为正方形时式朴等号成立又工‘、周长四边形的周长并请三在有限项的实数列确定等号成立的条件,口一“一,、,,、,⋯,、十‘一的算术证明记公共圆心为连接如果一段数,平均值大于那么我们把这段数叫做一“”,、“”条龙并把称为这条龙的龙头。。,如果某一项那么单独这一项也,是龙假定中至少存在一条龙求证中全体可以作为龙头的项的算术平均值也必定大于证明设、,十,,⋯、,‘、,是一条以为龙头的最短龙我们来证明,。。无十其中的任一项钱均可作为和在

5、四边形中应用推广的龙头把龙分成两段曰。年第三明’‘·’·‘。,口,,口夕乃一口价,”一口左当视。为变数时式左端为二次三项、,二,二因为是最短龙所以。一。,厂,即式且于实数取负值又因故有是龙有二。一工“。」、,十泛圣认一无,一,一一一一,,,之全孟因为去龙沂以‘,。、卜,。一。一工一二一⋯⋯三一乏一才整理得‘一,’、一二,,二,、,,、二盖全,为一条龙所以可作为龙即一头盘在序列中选出以第一个可作为龙由此递推可得头的项为龙头的最短龙然后再选出以其卫千荃夏孟于查兰余项中第一个可作为龙头的项为龙头的最短,,。,。。由前一部分的结论知可为某三,,龙

6、如此继续下去因为为有限序列这上,角形的三边长从而再由对称性便知,一,过程进行苦干次后必会结束显然选出的⋯,。中的任何三数均可作为某个三角这些最短龙包含了中全部可作为龙头的‘形的三边长,项而山前段证明知这些最短龙中的各项都、且‘‘‘,五给出三个四面体可竹为龙头山定义知每条龙的所有项的算,,,‘,、、,‘,过点作平而刀,术平均值都大于故这些选出的最短龙,‘“,,、‘,、,,￡分另与棱刀“,的所有项的算术平均值也大于亦即所‘,,垂直云如果九个平面有可作为龙头的项的算术平均值大于,‘,夕,石二,,石,刀相交于一氛、。,,。四设三个正实数,、,,满

7、足。而三点注注在同一直线上求三个笼孟’、名夕乙四面体的外接球面的交集形状怎样位置。,,。一求证定是某个三角形的二条边如何长‘,‘,‘,,云,解连结儿,,一,没个正实数“,,,‘,‘‘则止土满足不等式‘‘云二,上千牛￡于兰⋯二,‘,‘,一‘,。一十卜五点共球兰鑫一‘、且为此球的直其中二习之证这些数中的任何三个一,,。径落定是某个三角形的三条边长为所论本题的第一部分实际上是证明第二部分‘‘,,三个外按球而的公共点记盛中点为的提示矛巳容易证明这里我们将其证明省‘‘二,,则口为球心记点与直线略而作为证明后一结论的依据二在平而爪七过作一所确定的平面

8、为证明由育,刃土于则尸也是三个所沦外接球面的。十“一,’卜。一。圣⋯蕊于一孟异一个公共点。鑫、一。寸⋯比一一、,‘一才,通,、生。三点共线,,,三,‘点共线此直线在。一。一二一一蕊卜卜武武汀,