量子物理之一维无限深势阱中的粒子的波函数

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1、{范例14.6}一维无限深势阱中的粒子的波函数0(0xa)如图所示，有一质量为m的粒子Vx()在一维势阱中运动，势函数为(x0或xa)由于曲线像“井”且深度无限，因而形象地称为一维无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。[解析]由于势能曲线与时间无关，所以属于定态问题。∞∞由于势阱无限高，粒子不能运动到势阱之外，所以定态波函数ψ(x)=0(x>a，x<0)。22粒子在阱内定戊波函hdE0(0≤x≤a)2数的薛定谔方程为2dmx2x方程可dk20O设k2/mEh2a简

2、化为dx其通解为ψ(x)=Asinkx+Bcoskx，波函数为ψ(x)=Asinkx。由于波函数是连续的，在x=0处有ψ(0)=0，所以B=0。{范例14.6}一维无限深势阱中的粒子的波函数0(0xa)如图所示，有一质量为m的粒子Vx()在一维势阱中运动，势函数为(x0或xa)由于曲线像“井”且深度无限，因而形象地称为一维无限深势阱。求粒子的能量、波函数和概率密度。ψ(x)=Asinkx∞∞在x=a处也有ψ(a)=0，所以Asinka=0，由于A不恒为零，所以ka=nπ。k只能取不连续的

3、值，用k表示，则nkn=nπ/a(n=1，2，3，…)n称为量子数。2222可knhπh2xEnn2(n=1，2，3，…)Oa得22mma要使问题有解，粒子的能量只能取分立的值，其他态称或者说能量是量子化的，E称为能量的本征值。为激发态，n222E称为第n=1状态称为基态，也就是粒子hh2E128ma22ma一激发态。能量最低的状态，最低能量为{范例14.6}一维无限深势阱中的粒子的波函数2222knhπh2ψ(x)=Asinkx，Enn2(n=1，2，3，…)22mma不同的能级能量E对应

4、nπnnn()xAsinkxAxsin(0≤x≤a)具有不同的的波函数为a波函数。根据归一化条件可得aa222nπ2212na

5、n

6、dx1AsinxxdA(1cosxx)dA1a22a00因此可见：波函数的归一化常数与能级的级Aa2/次无关，与势阱宽度的平方根成比反比。波函2nπ222nπ()xxsin概率密

7、n()

8、xxsinnaa数为aa度为可见：粒子在势阱中出现这些结果与经典力学根本的概率因地而异，在阱壁不同，按照经典力学的观处的概率为零；概率密度点，粒子在

9、势阱内各处出分布还随量子数改变。现的概率应该相等。能级个数不妨取4。粒子的波函数的模方就是概一维无限深势阱中粒子的波函数是正弦函数。率密度，其高度表示能级。在两壁处，波函数恒为零。量子数n也是波腹的个数，在两壁处，概率密度恒为零，波腹之间有n-1个波节。表示此处不会出现粒子。当量子数n=1时，中间出现粒子的概率密度最大；当量子数n=2时，有两个地方出现粒子的概率密度最大。