量子力学 一维无限深势阱.pdf

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1、§2.6一维无限深势阱（PotentialWell）(理想模型)重点：一维无限深势阱中粒子运动的求解难点：对结果的理解实际模型：金属中电子的运动，不计电子间的相互碰撞，也不考虑周期排列的金属离子对它们的作用。一、写出本征问题⎧0,x

2、)(3)IIIIIII二、求解本征方程2μE2μ(U0−E)我们令α=，α'=(4)22hh22hd则：−ψ(x)=Eψ(x)的解为:2II2μdx−iαxiαxψ(x)=Ae+Bex

3、−E)0又由于U=∞，则：α'==∞02h于是：ψ(x)=ψ(x)=0(8)IIIII−iαxiαx而ψ(a)=ψ(a)，ψ(−a)=ψ(−a)；ψ(x)=Ae+BeIIIIIIII−iαaiαa⎧Ae+Be=0则：⎨(9)iαa−iαa⎩Ae+Be=0于是A、B不能全为零的充分必要条件为：−iαaiαaee=0，即：sin(2αa)=0iαa−iαaeenπ解之得：α=，n=0,±1,±2,....(10)2a−iαaiαa⎧Ae+Be=0−inπ/2inπ/2将其代入到⎨，得：Ae+Be=0iαa−iαa⎩Ae+Be=0n+1即:A=(

4、−1)B−iαxiαx代入ψ(x)=Ae+Be中，得：I５６⎧nπCsinx,n=2,4,6,...⎪⎪2aψI(x)=⎨x

5、本征函数的本征值为:2h2a222222nπhnπhE==(n=1,2,3,...)(13)n222μ(2a)8μanπnπnπnπnπ说明：由于sin(x+a)=sinxcos+cosxsin，则一维无2a2a22a2限深势阱中粒子的定态波函数可表述为:⎧1nπ−iEnt/h⎪sin(x+a)ex

6、，min128μa称为零点能；(2)能量是分立的，相邻能级间距：22(2n+1)πhΔE=E−E=nn+1n28μaΔE2n所以当n→∞时，相邻能级的相对间距：≈→0Enn即相邻能级的相对间距随量子数n的增加而减少。当n很大时，能级可视为连续，这是经典极限时的情况，即经典物理可以看成是量子物理中量子数n→∞时的近似。22.波函数ψ及几率密度ψnn(1)在x>a时，波函数均为零，即粒子被束缚在阱内运动。通常把在无限远处波函数为零的状态称为束缚态（仅在有限范围内运动的状态）。一般来说束缚态所属能级是分立的。(2)Ψ(x,t)是阱内驻波，是两个沿

7、相反方向传播的平面波的迭加。n５８1nπ−iEnt/hΨ(x,t)=sin(x+a)ena2a(15)inπhinπh=cexp[(x−Et)]+cexp[−(x+Et)]1n2nh2ah2a其中c、c为两常数。12说明：利用形成驻波的条件可导出能级公式，形成驻波的条件是：波λ所在的空间限度等于半波的整数倍，即L=2a=n，则波矢的大小为：22πnπk==λ2a于是由DeBroglie关系得：222222phknπhE===(16)n22μ2μ8μa(3)节点(波函数的零点)数（P37图）：ψ有n−1个节点（与x轴的交点，n2即ψ=0的点且

8、除去两端点）；ψnn有n个极大值，两极大值之间有一零2点，共n−1个零点，且ψ关于y轴n对称。(4)ψ的奇偶性（宇称）nψ的奇偶性由n决定，当n为偶数时，ψ为奇函数或奇宇称（od