Ernst公式推导

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1、等效弹性模量斜拉桥的拉索一般采用柔性索，斜索在自重的作用下会产生一定的垂度，这一垂度的大小与索力有关，垂度与索力呈非线性关系。斜索张拉时，索的伸长量包括弹性伸长以及克服垂度所带来的伸长，为方便计算，可以用等效弹性模量的方法，在弹性伸长公式中计入垂度的影响。一、等效弹性模量常用Ernst公式推导如下：如图2-2所示，q为斜索自重集度，f为斜索跨中m的径向挠度。因索m不承担弯矩，根据m处索弯矩为零的条件，得到：1212Tfqlqlcosm1882qlfcos(2-1)m8T索形应该是悬链线，对于f很小的情形，可近似

2、地按抛物线计算，索的m长度为：28fmSl(2-2)3l垂度影响的伸长量为L：f2238fmql2LSlcosf23l24TdL23fql2cos(2-3)3dT12T用弹性模量的概念表示上述垂度的影响，则有：33dTl12Tl12E(2-4)f2322dLAqlAcos(L)f1式中：T，qA，Llcos为斜索的水平投影长度，AE：计算垂度效应的当量弹性模量。f在T的作用下，斜索的弹性应变为：eEe因此，等效弹性模量E为：eqEeEeqef

3、1EeEEEeffEe即：EE（＜1）(2-5)eq22eL1E3e12式中：E——斜拉索钢材弹性模量（kPa）；e3——斜拉索单位体积重力（kN/m）；L——斜拉索水平投影长度（m），Llcos；——确定工况斜拉索应力（kPa）。Ee也就是：Eeq22qLA1E3e12T结论：当索力由T变化到T时，索长的变化量为L，将Ernst弹模代入下01式积分得：232232T1lTlqlcosTlqlcos10LdTT220EeqAEA24T1EA

4、24T0由此可知，采用抛物线理论求解索长变化量，实际就是考虑Ernst弹模修正的计算过程。上式中的结果即为《公路斜拉桥设计规范》（试行）中对斜拉索无应力下料长度的计算公式，即：232Tlqlcos弹性伸长量L，垂度影响伸长量L；ef2EA24T拉索的无应力长度为：llLL0ef2二、《公路斜拉桥设计细则》6.2.4规定Ernst在分析斜拉索垂度对结构的非线性影响时，对给定的阶段，当考虑外荷载增加引起索力变化时，在迭代过程中则采用下列修正式：EeEeq224L(1)1E22e1216m

5、0.5()；m0101式中：——拉索原有应力（kPa）；——承受新的荷载后拉索的应力（kPa）；01该公式引自王伯惠编著《斜拉桥结构发展和中国经验》（上册）。此外，ASCE的暂行规定中，对考虑斜拉索垂度时建议采用割线弹性模量E进2行修正：EeE222qL(TT)A011E22e24TT012式中：A——斜拉索钢材的截面面积（cm）；T——变形前的索力（kN）；0T——变形后的索力（kN）；1q——斜拉索单位长度的重量（kN/m）。三、MIDAS中索的非线性简化算法采用等价桁架单元进行计算。等价桁

6、架单元的刚度一般有弹性刚度和下垂（sag）刚度，随张力而改变的刚度值可按下式计算：1EAeKcomb1/K1/K22sagelasticqLl1EA3e12T312TEAeKKsag22elastucqLll其中:E-材料弹性模量，T-索拉力，Llcos-索的水平投影长度，l-索e的锚点长度。该公式即为Ernst公式。3