集合与映射学习指南

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1、集合与映射学习指南一、内容提要1、集合的有关知识概括(1)集合的概念(2)集合的表示法、列举法、描述法(3)子集、集合相等(4)有限集、无限集2、集合的运算(1)集合运算的概念：集合AB,，则1)A与B的并：A∪Bx=∈∈{}xAxB或2)A与B的交：ABxxAxB∩=∈∈{}且3)A与B的差：ABABxxAxB−={=∈且∉}c4)A的补集或余集：AA=Ω−（或记为A）(2)集合的运算性质：1)交换律：ABBA∪∪=,ABBA∩∩=2)结合律：()A∪∪BCABC=∪∪(),()A∩∩BCABC=∩∩()3)分配律：()()ABCACBC∪∩=∩∪∩()，

2、()()A∩∪BCACBC=∪∩∪()，()A−BCACBC∩∩∩=−4)幂等律：AAAAAA∪∩==,15)吸收律：A∪∩φ==AA,φA若则ABABBABA⊂==,,∪∩,ABAAAABA∪∩(),()=且∩∪=6)对偶律：ABAB∪∩=,ABAB∩∪=3、映射的基本概念(1)映射；(2)一一对应4、实数、区间、邻域1)实数的构成：{实数集}={有理数}∪{无理数集}2)实数与数轴上的点一一对应3)数轴上任意点a,b之间的距离为：d=

3、a－b

4、.4)区间①闭区间：[,]{ab=≤xaxb≤}②开区间：(,){ab=

5、=a}；(,]{−∞=≤bxxb}2(,){−∞bx=xb<}；(,){−∞+∞=x−∞

6、理解集合概念中“确定的”或“特定的”其含义？答：集合中的元素是确切定义的，任何一个对象，或者是这个集合中的元素，或者不是这个集合的元素，不能含糊不清.例如：a)所有远远大于2的实数（28是这样的数吗？）b)健康人的群体（你是这群体的一员吗？）c)我们班成绩好的同学（我是这样的同学吗？）以上三个例子就不是我们数学中的集合.事实上，现实世界中遇到的对象也有很多是这种模糊的、不精确定义的类型，它们的成员没有精确定义的判别标准，这类对象就不属集合的范畴.3问题2在表示集合时，应该注意哪些问题？答：特别要注意下面两个问题：a)确定性.就象问题1解释的那样，一定要明确集合

7、元素的特性.列举法和描述法就是表示集合的常见方法.b)互异性.集合中的元素互不相同，相同的元素归入一个集合时，只能算2作该集合的一个元素；不能重复出现.例如，方程(1x−)0=的根有两个相同的根xx==1,1（称为重根）.而该方程的集合A只含有一个元素1，即122Axx=−={(1)0}{1}=.不能写为A={1,1}.问题3映射、一一对应等这些概念十分抽象，怎样才能更好地理解他们的含义和实际作用？答：映射是数学中一个非常重要的概念，是认识事物的方法.利用它可以更深层次地揭示事物之间的关系，而且具有广泛普遍性.我们仅从一个例子来说明.例平面直角坐标系在平面解析

8、几何中，我们用代数方法研究几何图形的性质.该方法是以坐标系为基础的，这是因为在坐标系下实现了数组与点的一一对应，从而沟通了“数”和“形”的联系.如图所示，在平面上，有公共原点，互相垂直并且有相同长度单位的两条数轴构成平面笛卡儿直角坐标系，坐标系所在的平面称为坐标平面.我们发现坐标平面上的点与二元有序实数组之间存在一个一一对应，这个是映射f为：设M为坐标平面上任给定的一点，过点M分别作x轴和y轴的垂线，垂足对应的坐标分别为x和y，于是M→(,)xy.从数学的角度来看，由于点与数组之间存在一一对应，因此可抽象的把他们看成是同一种东西，于是坐标平面上的点可记为M(,

9、)xy.有了上述这种关系，我们就可用代数方法来研究几何图形的性质了.例如，研究以o为圆心，半径为r的圆的特征（如图）.4从几何特征来看，圆周上的点到o点的距离都为r（换句话说，具有上述特征的点的全体集合构成了圆周曲线C），利用点的坐标，这个特征可表示为222x+=yr，即圆周上的点的坐标都满足这个方程关系.该关系完全刻划了圆的222属性，因此我们称方程x+=yr表示圆心在坐标原点、半径为r的圆（几何曲线与二元方程的对应.在下一节里将介绍函数，函数也就是数集之间的映射.我们会了解更多的映射实际背景和有关映射的知识.三、知识拓展关于数集的上确界和下确界集合可分为有

10、限集和无限集.对于数集来说，任何有限数