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1、6物理与工程Vol.12No.52002教学研究均匀带电薄圆盘的电势及等势面程昌林王慧李业凤(电子科技大学物理电子学院,四川成都610054)(收稿日期:2002-04-27)摘要根据电势的叠加原理,导出了均匀带电薄圆盘电势的级数表达式,并进而给出了等势面方程.关键词薄圆盘;电势;级数解;等势面POTENTIALOFAUNIFORMLYCHARGEDDISCANDITSEQUIPOTENTIALSURFACESChengChanglinWangHuiLiYefeng(UniversityofElectri
2、calScienceandTechnologyofChina,Chengdu,Sichuan610054)AbstractWeobtaintheseriessolutionofthepotentialofauniformlychargeddiscanditsequipotentialsurfacesusingthesuperpositiontheorem.KeyWordsdisc;potential;seriessolution;equipotentialsurfaces题.本文先利用点电荷电势的公式及叠加原1引言理,导出均匀
3、带电细圆环周围空间电势的级数解,再通过电势叠加原理,得到均匀带电薄在大学物理静电场内容的教学中,均匀圆盘电势的级数解.此外,还求出了均匀带电带电薄圆盘作为一个典型的带电模型,常常薄圆盘的等势面方程.需要求其周围空间的电场.由于寻找普遍解析解的困难,目前教材上的内容,通常只局限2均匀带电细圆环的电势于求过其圆心的轴线上的解.近年来,寻找普遍解的问题已受到同行们的关注.他们或者如图1,设均匀带电细圆环半径为R,其在用积分方程表示其电势和电场解的同时,电荷线密度为.由对称性可知:其电势必以[1]还用计算机对其进行数值计算;或者通过z轴
4、对称。因此,只要求得xOz平面内电势,数学物理方法,用Legendre多项式表示其电则整个空间电势便可知.图中dl线段电荷在[2]势.然而,寻找更易于理解的数学表达式,P点电势为:常常是学生们问及,也是我们非常关心的问程昌林(1944):男,硕士,重庆人,副教授,现主要从事大学物理教学.物理与工程Vol.12No.52002722=CA2+G1B(cos-sin)+G2B+0333G3B(cos-sin)+444G4B(cos+sin)+555G5B(cos-sin)+nnnn+GnB(cos+
5、(-1)sin)+图1d(3)1dl式中,dUP=40r1311RdG1=2;G2=42;=42220x+z+R-2xRcos5317531G3=;G4=CAd6428642=(1)21-Bcos(2n-1)(2n-3)31Gn=式中,C=1;A=R;B=2n(2n-2)4220x2+z2+R2n为正整数.且
6、B
7、<1,即P点不应在环上.2xR222.将细圆环视为点电荷的集合,由对(3)式积分,得到:x+z+R1234电势叠加原理,在空间P点处电势为:Up=
8、CA2+2G2B+G4B+224CAdUP=25367538201-Bcos64G6B+864G8B++2n-1n-33nddGnB+=CA+nn-2401-Bcos1-Bcos222+2M=CA2B+22246ddM4B+M6B+=CA+01-Bcos01+BsinM8n8B++MnB+(4)2这里,11=CA+d1-Bcos1+BsinM2=1G2;M4=3G4;M6=53G6;02464(2)753M8=G8;其中,
9、=-.8642利用幂级数M(n-1)(n-3)3n=Gn1n(n-2)4-1132(1x)2=1x+x224n为正偶数.同样
10、B
11、<1.135313574x+x,
12、x
13、<124624683均匀带电薄圆盘的电势2B1322UP=CA1+cos+Bcos+将均匀带电薄圆盘视为若干均匀带电细2240圆环的集合,若薄圆盘半径为R0,则距圆心13533BBcos++1-sin+距离R,宽度dR的细圆环的电荷线密度为2462132213533=dR,其中为
14、薄圆盘电荷面密度.于是,Bsin-Bsin+d24246空间任一点P的电势:8物理与工程Vol.12No.52002R20各项全为B之函数,因此它们应当都是正24UP=CAdR2+2M2B+M4B+值.故若讨
