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1、第二十四卷第六期楚雄师范学院学报Vol124No162009年6月JOURNALOFCHUXIONGNORMALUNIVERSITYJun12009圆锥曲线的渐屈线和曲率圆*12杨胜梁双凤(11楚雄师范学院经济信息管理及计算机应用系,云南楚雄675000;21楚雄师范学院数学系,云南楚雄675000)摘要:曲线C在点P(x0,y0)曲率圆是与该曲线C相切于点P(x0,y0)(凹侧)的最大圆,曲率圆的22222xyxy圆心D的轨迹曲线G称为曲线C的渐屈线。抛物线y=2px(p>0)、椭圆2+2=1和双曲线2-2abab2222283x3y
2、3x3y3=1的渐屈线方程分别为y=27P(x-p)、2+2=1和2-2=11抛物2222(c/a)3(c/b)3(c/a)3(c/b)322222c2线、椭圆和双曲线的最小曲率圆都是它们的内切圆,其方程分别为(x-p)+y=p、x?+y=ab422b4c2、x?+y=。22aaa关键词:曲率;曲率圆;曲率中心;渐屈线;半立方抛物线中图分类号:O15715文章标识码:A文章编号:1671-7406(2009)06-0029-06设曲线C的方程为y=f(x),那么曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))的曲率为k曲率(x0)=[1]
3、f
4、d(x0)
5、23/2;曲率k曲率(x0)越大,表明曲线y=f(x)在点P的弯曲程度越大。[1+fc(x0)]1曲线C在点P(x0,f(x0))的曲率k曲率(k曲率X0)的倒数R=称为曲线C在该点P的曲k曲率1率半径。以曲率半径R=为半径、以点P(x0,f(x0))为切点,在曲线C的凹的一侧所作的圆,称k曲率[1]为曲线C在点P(x0,f(x0))的曲率圆。由于曲线C的曲率圆与曲线C在点P(x0,y0)有相同的切线和曲率,且在点P(x0,y0)邻近有相同的凹向;因此,曲线C在点P(x0,y0)曲率圆是与该曲线C相切于点P(x0,y0)(凹
6、侧)的最大圆。定理1设P(x0,y0)是曲线C上任意一点,则在曲线C的凹侧且与该曲线相切于点P(x0,y0)的最大圆是曲线C在该点的曲率圆。2yc0(1+yc0)A=x0-yd曲率圆的圆心D(A,B)叫做曲线C在该点的曲率中心,则不难得到。21+yc0B=y0+yd[1]当切点P(x0,f(x0))沿曲线C移动时,相应的曲率中心D的轨迹曲线G称为曲线C的渐屈线。11抛物线的渐屈线与曲率圆111抛物线的渐屈线2设P(x0,y0)(x0E0)为抛物线y=2px(p>0)上任意一点,则抛物线在此点的曲率*收稿日期:2009-04-07作者简介
7、:杨胜(1961)),男,汉族,云南昆明人,讲师,主要研究方向:计量经济学。#29#楚雄师范学院学报2009年第6期楚雄师范学院学报2009年第6期1
8、yd
9、p2k抛的曲率(x0)=3=3;从而抛物线在点P(x0,y0)(x0E0)的曲率半径2(1+yc)2(2x20+p)3(2x20+p)R抛曲率半径(x0)=1。过点P(x0,y0)作抛物线的法线,在凹的一侧(法线上)取一点D,满足p23A=3x0+p(2x20+p)23
10、PD
11、=1,则D(A,B)为此点的曲率圆圆心,从而y0,由于y0=2px0,所以把p2B=-2p283方程组中x
12、0和y0消去;便得到方程B=(A-p)。27p2283定理2抛物线y=2px(p>0)的渐屈线方程为y=(x-p)。27p2抛物线y=2px(p>0)的渐屈线是顶点在A(p,0)的半立方抛物线,如图1.1和图1.2所示。112抛物线的曲率圆及其性质3(2x220+p)由于抛物线y=2px(p>0)在P(x0,x0)(x0E0)的曲率半径R抛曲率半径(x0)=1,p23y0曲率中心为D(3x0+p,-2),从而得到抛物线在点P(x0,x0)(x0E0)的曲率圆方程。p22定理3抛物线y=2px(p>0)在点P(x0,y0)(x0E0)的曲
13、率圆方程为(x-3x0-p)+323y0(2x0+p)2y+2=;其中y0=2px0。pp3(2x20+p)由于x0E0,所以抛物线的R抛曲率半径(x0)=1p,且x0=0时,曲率半径最小为p;p2因此,抛物线有最小的曲率圆。2222定理4抛物线y=2px(p>0)有最小曲率圆,其方程为(x-p)+y=p。推论1抛物线的最小曲率圆,恰好是与抛物线相切于顶点(0,0)的最大内切圆。由于抛物线在点P(x0,y0)(x0E0)的曲率圆是与抛物线相切(凹侧)于点P的最大圆,从而有定理5。2定理5在抛物线的y=2px(p>0)凹侧、与该抛物线相
14、切于点P(x0,x0)(x0E0)的圆的3y0圆心轨迹为线段
15、PD
16、,其中D(3x0+p,-2)(图112)。p222例如,抛物线y=2x在点P(2,2)处的曲率圆方程是(x-7)+(y+8)=125,而它
