在控制系统中巧解Diophantine 方程——MATLAB 语言应用

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1、在控制系统中巧解Diophantine方程——MATLAB语言应用FindTheSolutionsofDiophantineEquationSmartlyWithMATLAB胡巧会刘贺平孟庆元摘要本文就控制系统中常遇到的Diophantine方（2）式左边的矩阵称为Sylvester矩阵，也称程求解问题，为得到一个可以方便嵌入极点配置控为结式。Sylvester矩阵的一个重要的性质是如果−1−1制、最小方差控制、广义最小方差控制、广义预测A(z),B(z)两个多项式是互质的，则由−1−1控制的仿真程序中的子程序,介绍了一种基于A(z),B(z)两个多项式系数组成的Sy

2、lvester矩MATLAB语言的简洁的求解方法，这个程序兼容性−1阵是满质的。（2）式Sylvester矩阵中由A(z)的好，而且长度短，可以大大提高运行速度，极为方便。本文还给出了程序清单。−1系数组成的行数为n+nx+1,列数为nx+1，由B(z)关键词Diophantine方程MATLAB控制系统的系数组成的行数为m+ny+1，列数为ny+1。因此AbstractAsfarasDiophantineequationintheSylvester矩阵为方阵的条件是controlsystemisconcerned,thispaperdevelopanewandsma

3、rtsolutionapplyingMATLABandthemax{n+nx+1,m+ny+1}=nx+1+ny+1（3）−1programlistisgivenalso.T(z)次数应满足KeywordsDiophantineequationMATLABnt≤max{n+nx,m+ny}（4）−1−1Controlsystem于是根据Sylvester矩阵满秩对A(z),B(z)互质性的要求，以及公式（3）和（4）得出确定−1−11引言X(z),Y(z)最小次数解唯一存在的条件是：1）(−1),(−1)在控制器的设计中，经常遇到Diophantine方AzBz互质程

4、求解问题，如最小方差控制、广义最小方差控制、2）各多项式的次数应满足广义预测控制、极点配置控制等等。Diophantine方⎧ny=n−1程的一般形式如下⎪（5）−1−1−1−1−1⎨nx=m−1n+nx=m+nyA(z)X(z)+B(z)Y(z)=T(z)（1）⎪n≤n+m+1−1−1−1⎩t其中，A(z),B(z),T(z)为已知多项式，次数n,m,n−1−1分别为t。X(z),Y(z)为待求多项式。⎧ny=n−1下面考察确定方程（1）解的存在条件和求解方法。⎪（6）⎨nx>m−1n+nx>m+ny在这里，我们主要介绍它的最小次数解。⎪n=n+n⎩tx由方程（1）

5、两边同次幂项系数相等可得出系数关系的矩阵方程⎡a00ΛΛ0b00ΛΛ0⎤⎢aa0Λ0bb0Λ0⎥⎡x⎤⎧ny>n−1⎢1010⎥0⎡t0⎤⎪（7）⎢ΜΟΜΜΟΜ⎥⎢Μ⎥⎢Μ⎥⎨nx=m−1n+nx

6、）设(−1),(−1)为方程（1）的一个解，XmzYmz首先要对A,B,T进行赋值，如果A,B不是固定的常则可以验证：对于任意的多项式(−1)Pz值，可以用表达式来赋值，并不影响后面的程序计−1−1−1−1⎧X(z)=X(z)+B(z)P(z)算，但是要注意幂的升降顺序；接下来构造Sylvesterm（8）⎨−1−1−1−1⎩Y(z)=Ym(z)−A(z)P(z)矩阵，要求在下面的程序注释中有详细说明；最后也是方程（1）的解，称（8）式为方程（1）的一用MATLAB的“”运算符求出方程的解，再分别般解。进行赋值即可。这样，只要我们求出Diophantine方程的最小

7、例如，对这样一个Diophantine方程次数解之后，只需选择合适的P(z−1)，就可以得到−1−2−3−4−1−2A=1−2.1z+1.1z+5z+3.6z，B=0.2+z+1.2z,能满足不同要求的方程的解。−1所选择的T=1+0.5z，以此为例，我们列出它的程序清单2MATLAB语言简介MATLAB语言是一种用于科学工程计算的高A=[3.6,5,1.1,-2.1,1];效率高级语言。它在诸如一般数值计算、数字信号%依次为a4,a3,a2,a1,a0%处理、系统识别、自动控制、振动理论、时序分析B=[1.2,1,0.2];和建模、优化设计、神经网