2014中国国家集训队选拔考试

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1、22中等数学2014中国国家集训队选拔考试中图分类号：G424．79文献标识码：A文章编号：1005—6416(2014)05—0022—061．如图1，设锐角次序，如厂(12)=4，这是因为l2有如下四种分△ABC的外心为0，点A解：l2，2×6，3×4，2×2×3)．若凡是大于1的整在边BC上的射影为，数，P是的任一素因子，证明：I厂(n)≤旦．AO的延长线与△BOCP(姚一隽供题)的外接圆交于点，点A在直线AB、AC上的射D参考答案影分别是D、E，△DEHA1．如图2，设是点A关于BC的对称点，A的外心为0．类似定义点H8、0B及Hc、0c．证图l在边

2、BC上的射影为点F，在直线AC上的射影为M．明：0、0HB、0。H。三线共点．(张思汇供题)2．设。：⋯A。。是正101边形．将每个顶点染上红、蓝两色之一．记Ⅳ是满足如下条件的钝角H／』_三角形的个数：三角形的三个顶点均为该101边形的顶点，两个锐角顶点的颜色相同，且与钝角顶点的颜色不同．求：／

3、／，{(1)Ⅳ的最大可能值；。(2)使得J7、r取得最大值的不同染色方法数，，Az一／，(对于两种染色方法，只要有某个A上的颜色不II、同，就认为是不同的染色方法)．(瞿振华供题)I『，厂．一3．证明：不定方程(+1)(+2)⋯(+2014)=(Y+1)(Y+2)⋯

4、(Y+4028)没有正整数解(，Y)．(李伟固供题)24．设k(k>3)是给定的奇数．证明：存在无穷由AC=CT，知TCM=2多个正奇数n，使得有两个正整数d、d：，满足又TAM=一ACB=OAB，则dl，d：l，且d：n二TCM=2OAB=AOB=ACF。(余红兵供题)且=ACF+ACT5．设r／,(n>1)是给定的整数．求最大的常数=TCM+AtCT=ACE．(n)，使得对任意n个非零复数z，z，⋯，，有注意到，伽dT、CMT、CEA、CFA均为直角．II≥(n)+·l+t=t)．CHACHACTCOSTCHA(冷岗松供题)CM—CTCM—COSTCM6

5、．对整数k>1，记，(k)是将k分解为大于1COSAlcECECACE的正整数之积的分解方法数(不计乘积中因子的COSACF—CACF—CF2014年第5期23CHA。CF=CM。CE．J7v=1225n一101C+3∑d(P，Q)，④从而，、，、、四点共圆．其中，{P，Q}取遍集合的所有二元子集．同理，设在直线AB上的射影为Ⅳ(图中未不妨设n为偶数，否则，将每个顶点的颜色改画出)，则、F、Ⅳ、D四点共圆．变，Ⅳ的值不改变．由四边形A朋及四边形AEMT均为直角·设n=2t(0≤t450)，将所有蓝色顶点从某一梯形，知线段F与EM的中垂线交于线段A点起顺时针方

6、向重新记为P，P2，⋯，P：．故的中点K，即圆厂．的圆心勾K，半径为KF．d(P，Q)同理，圆的圆心也为K，半径也为KF．{，iB故圆厂与重合，即D、Ⅳ、、、、六=∑(，尸f+)+÷∑∑((，Pi+j)+l：l●‘1J1点共圆．d(P+，，P+)+d(P+，，P—f)+(P—f，P))所以，0即为线段A的中点≤50+101从而，0／／AA．￡(卜1)，⑤由HcAO+AHcB其中，P的下标在模2z意义下，并且利用了不等=一ACB十ACB=q“-式d(P，P⋯)≤50，及，二厶d(P，P+f)+d(P+，Pi+)+知AA’HqHc．d(P⋯，P㈠)+d(P，P)

7、≤101．⑥因此，0HA上日．结合式④、⑤得故0HA、0HB、0。Hc三线共点于△的垂心．Ⅳ≤1225乃一lo1c：+3『50H￡(f一1)12．用=0或1分别表示A为红色或蓝色．=一“t．对于钝角△AAiA⋯，其中，顶点A是钝角顶点，即0+b≤50．上式右端在t=25时取得最大值．三顶点满足题述条件的染色当且仅当故N~<32175．(一一。)(一+6)=1，)只需考虑满足N=32175的充分必要条件．否则，等于O，这里下标在模101意义下．首先，t=25，即恰有50个蓝点．其次，对1≤≤￡，有d(Pi，P⋯)=50．故Ⅳ：∑∑(—X'i-a)(i—Xi+b

8、)，②‘。1(口，6)当d(P，P)：50时，式⑥等号一定成立．其中，“”是对所有满足0+b≤50的有序正整因此，取50个蓝点使Ⅳ取得最大值的方法数对(口，b)求和，这样的正整数数对共有数为从最长的101条对角线中取25条，使得任意49+48+⋯+1=1225(对)．两条对角线均在内部相交(等价于无公共顶点)．将式①代人式②得将A(i=1，2，⋯，101)与AⅢ。连线构成图G．注意到，50与101互素．Ⅳ=∑∑(—Xi-a)(—X'i+b)●=1【口，6J故1+50n(0≤n≤100)构成模101的完全剩余系，即图G是恰有101条边的圈．=∑∑(一Xi++)

9、I=1【口，6)因此，将50个顶点染为蓝色使Ⅳ取最大