注重类比能力的考查

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1、注重类比能力的考查上海市松江区第四中学高吉全类比，是由两个对象某些属性的相似，合情推出它们别的属性也相似的一种方法。世界上许多著名的科学家、教育家都十分倡导类比推理，认为它是发现、发明的源泉，波利亚：“类比是伟大的引路人”；开普勒：“我们珍视类比胜于任何东西”。高考命题既然要能力立意，就不能不注重类比能力的考查，上海在这方面作了大胆积极的探索，形成了一个新的高考亮点。1、二维与三维空间的类比例1（2002年上海春考第12题）如图，若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有SΔOM1N1OM1ON1点M、M与点N、N，则三角形面积之比

2、=.，若从点O所作的1212SOMONΔOM2N222不在同一平面内的三条射线OP、OQ和OR上，分别有点P、P，点Q、Q和点R、12121R，则类似的结论为_______________________。2[类比]将平面三角形的面积之比类比成三棱锥的体积之比，将平面上二射线被二直线所截线段长度的乘积之比，类比成空间三射线被二平面所截线段长度的乘积之比，于是类比的VO−P1Q1R1OP1⋅OQ1⋅OR1结论是：=VOP⋅OQ⋅ORO−P2Q2R2222[证题思路的类比]上述结论正确吗？一时难以下手证实，咋办？降维思考！不仿先探讨M

3、KOM111相应二维平面问题的证题思路：作MK、MK垂直ON于K、K，得=，112212MKOM2221ON⋅MKSΔOMN111OM⋅ON11211从而有==。上述证题成功的关键是：作高，将三S1OM⋅ONΔOM2N2ON⋅MK222222角形的面积公式转化为相关线段的积。PKOP111类比地，在三维空间中，作PK、PK垂直于平面OQR于K、K，得=，112212PKOP2221PK⋅SV11ΔOQ1R1OP⋅OQ⋅ORO−P1Q1R13111从而==结果表明，证题获得了成功。V1OP⋅OQ⋅ORO−P2Q2R2PK⋅S2222

4、2ΔOQ2R23[点评]（1）二维平面与三维空间可供类比的属性有很多，除了上述三角形与三棱锥、面积与体积的类比，又比如：等腰三角形与正三棱锥、圆与球等等可以类比；三角形的内角与多面体相邻面的二面角、三角形各边的垂直平分线交于一点与三棱锥各棱的垂直平分面交于一点等等也可以类比。这样，就可由平面几何许多熟知的性质合情推测空间相应的性质。（2）类比命题的证明，往往可从相应简单的类比命题的证题思路中，得到启示，迁移而获得成功。2、等差与等比数列的类比例2（2000年上海高考第12题）在差数列{an}中，若a10=0,则有等式：a+a+⋅⋅

5、⋅+a=a+a+⋅⋅⋅+a(n<19，n∈N)成立，类比上述性质，相应地：12n1219−n在等比数列{}b中，若b=1，则有等式___________________成立。n9[类比]类比分二步：第一步利用等差数列{a}（公差为d、前n项和为S）与等比数nn列{}b（公比为q，前n项积为T）间如下一一对应关系；（a、d、S、n、0）↔（b、nnnnnq、T、n、1）；（+、—、×、÷）↔(×、÷、乘方、开方），由已知得{}b中相应的nn性质；第二步，在同类数列中，通过因果关系结构上的类比，最终求得结果。首先将{}a的项替换成{}

6、b中相应的项，将数0替换成数1，将已知等式中的加号替换nn成乘号，那么可由：a=0⇒S=S、(n<19,n∈N)类比得：10n19−nb=1⇒T=T(n<19,n∈N)，再由此类比思考：b=1⇒T=T(n

7、n[点评]上例第二步类比是同类等比数列中的因果类比；第一步类比是两类数列间基于一种简单的一一对应替换法则基础上的类比，是一种精确简明的同构类比，因而显得更为重要，掌握了这种替换直译的同构类比方法，不仅可从某类数列的一个已知命题类比发现出另一类数列的一个相应新命题，而且新旧命题的证明过程也可互相类比迁移（替换互译）。3、圆锥曲线的类比例3（2003年上海春考第21—（3）题）已知椭圆具有性质；若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为K、PM22xyK时，那么K与K之积是与点P

8、位置无关的定值；试对双曲线−=1写出具PNPMPN22ab有类似特性的性质，并加以证明。[类比]既然椭圆与双曲线都是中心对称图形，既然它们都统一在圆锥曲线的定义之下，22xy由椭圆的性质就可合情推测双曲线中类似的如下性质：若M、N是双曲线−=1关于